Convergencia y convergencia absoluta de la media aritmética de una secuencia

Question

Supongamos que $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i|$ existe. ¿Tiene $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ ¿Existe?

¿Y lo contrario?

Mis pensamientos:

• Supongo que para la secuencia $\{x_1,-x_1,x_2,-x_2,\ldots\}$ lo contrario no es necesariamente válido.
• Si puedo demostrar que la existencia de $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ implica que $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i 1\{x_i\geq 0\}$ y $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i| 1\{x_i\leq 0\}$ existe, entonces la primera parte se mantendría. Pero no estoy seguro de que esto sea cierto, necesito encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Un contraejemplo para la inversa es $x_i = (-1)^i\sqrt i$ .

Answer 2

Otro contraejemplo trivial para la inversa podría ser este:

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i 1\{x_i\geq 0\}$ no existe y $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i| 1\{x_i\leq 0\}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i 1\{x_i\geq 0\}$ .

Answer 3

Un poco de explicación de la pista de Cla: Considera $$ S^1_n = \frac{x_1 + \ldots x_n}{n} < \bigg| \frac{x_1 +\ldots x_n}{n} \bigg| <\frac{|x_1| +\ldots |x_n|}{n} = S^2_{n} $$ por la desigualdad del triángulo. Como sabemos que $S^2_n \to_n a< \infty$ y $S^1_n < S^2_n$ , $S^1_n$ converge por prueba de comparación.