Mostrando $F(f)=\sin(f)$ es Continua

Question

Tenemos un Espacio de Banach $C[0,1]$; considerar una función de $F:C[0,1]\to C[0,1]$, donde

$$(F(f))(t):=\sin(f(t))$$

y esto es $\forall t\in [0,1]$

Probar que F es continua.

He intentado mostrar que F es una contaction, por lo que, a continuación, en un Espacio de Banach, que es completa, lo que podría insinuar que F es uniformemente continua, que es una condición más fuerte de lo que necesita para mostrar.

Tal vez me estoy acercando incorrectamente la pregunta, ¿algún consejo? Gracias

Answer 1

Esto es más fácil de lo que parece. Tenga en cuenta que $|\sin x-\sin y| = |\int_x^y \cos t dt| \leq |x-y|$ todos los $x\leq y \in \mathbb{R}$. En particular, por los $f,g \in C[0,1],$ tenemos $ |\sin f(t)- \sin g(t)| \leq |f(t)-g(t)|$ todos los $t \in [0,1]$, por lo que $$ ||F(f)-F(g)|| = \max_{0\leq t \leq 1} |\sen f(t)-\pecado g(t)| \leq \max_{0 \leq t \leq 1} | f(t)-g(t)| = ||f-g|| $$ lo que implica que $F$ es Lipschitz continua (claramente más fuertes de continuo).

Gracias a Joonas, quien señaló que el original de mi respuesta sólo mostró la continuidad en $f=0$.