Encontrar el polinomio mínimo el uso de la teoría de Galois

Question

Uno de los ejercicios en el capítulo 14 de Dummit y Foote es encontrar el polinomio mínimo de a $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$. Sé que esto se puede hacer mediante el cálculo de los poderes superiores de $\alpha$ y, a continuación, encontrar un trivial relación entre ellos, pero creo que el punto de esta pregunta es el uso de la teoría de Galois.

Creo que la solución a esta pregunta es algo como:

1. Tenga en cuenta que $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$.

2. La extensión de campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ es de Galois sobre $\mathbb{Q}$. Para cualquier $\sigma \in \text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/ \mathbb{Q})$, las únicas opciones para $\sigma(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ \begin{equation*} \pm \sqrt{2} \pm \sqrt{3} \end{ecuación*}

3. Ahora forma el polinomio: \begin{equation*} m(x): = \big( x - [\sqrt{2} + \sqrt{3}] \big)\big( x - [-\sqrt{2} + \sqrt{3}] \big)\big( x - [\sqrt{2} - \sqrt{3}] \big)\big( x - [-\sqrt{2} - \sqrt{3}] \big) \end{ecuación*}

4. Este polinomio es el polinomio mínimo de a$\sqrt{2} + \sqrt{3}$$\mathbb{Q}$, debido a que:

   (a) es monic. Esto es obvio.

   (b) es irreducible. Esto puede ser visto de señalar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$, y el hecho de que este es un grado $4$ polinomio y $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}): \mathbb{Q}] = 4$.

   (c) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ como una raíz.

   (d) Tiene coeficientes en $\mathbb{Q}$. Supongo que esto puede ser visto sólo por la multiplicación de los términos de $m(x)$.

No tengo preguntas acerca de la exactitud de las afirmaciones contenidas en alguno de los pasos anteriores. Mis preguntas son las más relacionadas con el por qué estos pasos se realizan en el primer lugar.

• La afirmación en el Paso 1 es obviamente cierto, pero, ¿por qué nadie piensa en hacer este paso en el primer lugar? $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ también se encuentra en la extensión de Galois $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5})$, así que ¿por qué no trabajar con esta extensión en su lugar?

• Entiendo que $\sigma(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = \pm \sqrt{2} \pm \sqrt{3}$. Pero, ¿por qué debe conocer este hecho me llevan a querer multiplicar todos los $(x - \sigma(\alpha))$? Esto no puede ser arbitraria truco...es evidente que debe haber alguna conexión aquí que estoy fallando para ver.

• Es que hay una manera más elegante (que simplemente multiplicar el polinomio) para ver que $m(x)$ ha coeficientes en $\mathbb{Q}$?

Answer 1

La razón para elegir a $F=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt 3)$ es que no es no trivial automorphism de este campo, que corrige $\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Que no es cierto para $\mathbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3,\sqrt 5)$.

Si $p(x)$ es un polinomio racional, entonces para cualquier automorphism $\sigma$ $F$ y cualquier $u\in F$, $\sigma(p(u))=p(\sigma(u))$. Esto es debido a que $\sigma(r)=r$ para cualquier racional $r$.

Así que si $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es una raíz, entonces así debe de ser $\sigma(\sqrt{2}+\sqrt{3})$. Por lo que cualquier polinomio racional con la raíz de $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ han $\sigma(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ todos los $\sigma$.

Finalmente, los coeficientes de $m(x)=\prod_{\sigma\in G}(x-\sigma(\alpha))$ son fijos por cualquier automorphism de $\sigma'\in G$. En el campo de arriba, al menos, los únicos elementos fijos por todos los automorfismos de la $F$ son racionales, por lo que los coeficientes debe ser racional.'

Por lo $m(x)$ tiene todas las raíces que tiene que tener, y tiene racional de los coeficientes, por lo que es el polinomio mínimo.

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Así que lo que tenemos es que

1. $m(x)$ no tiene raíces repetidas, por la consideración en el primer párrafo, que no es no trivial automorphism de $F$ que corrige $\alpha$.
2. Cualquier polinomio con coeficientes racionales que ha $\alpha$ como una raíz ha $m(x)$ como un factor.

A partir de esto, podemos ver que $m(x)$ es irreductible - si los factores no-trivial, entonces no es un racional polinomio de menor grado que ha $\alpha$ como una raíz, sino que debe ser divisible por $m(x)$.

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Así que las dos propiedades clave que tenemos es que:

1. Si $\sigma(\alpha)=\alpha$,$\sigma=1$.
2. Para $x\in F$ si $\sigma(x)=x$ todos los $\sigma\in G$,$x\in\mathbb Q$.

Vale la pena considerar ejemplos en los que este no es el caso.

Tomando $F=\mathbb Q(\sqrt[4]{2})$$\alpha=\sqrt[4]{2}$, no es una no-trivial automorphism, $\sqrt[4]{2}\mapsto -\sqrt[4]{2}$. Pero (2) no es cierto, puesto que en la $\sqrt{2}$ es fijado por tanto automorfismos. Así:

$$(x-\sqrt[4]2)(x+\sqrt[4]2)=x^2-\sqrt{2}$$ is not a minimal polynomial fo $\alfa$ over $\mathbb Q$.

En el caso de que (1) no es en realidad su $\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ ejemplo. Usted se repiten los factores en este caso.

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Una nota final. Hay una manera de eliminar repetidos de raíces. Si $m(x)$ ha repetido raíces, usted puede quitar por la informática:

$$m_1(x)=\frac{m(x)}{\gcd(m(x),m'(x))}$$

Este tiene problemas cuando sus campos finitos característica, pero a través de los racionales, esto dará siempre la mínima polinomio incluso cuando $\sigma(\alpha)=\alpha$ para algunos no trivial caso.

Answer 2

Las otras raíces de los polinomios mínimos son los conjugados (imágenes en $\sigma\in G$), que es lo que hace que $\prod_{\sigma\in G}(X-\sigma(\alpha))$ una buena conjetura. Por cierto, usted podría intentar lo mismo con $\Bbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3,\sqrt 5)$, pero que - como usted puede encontrar fácilmente producir en la plaza de la mínima polinomio.