Esta pregunta se inspira en Determinar si la secuencia converge o diverge
En $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin 2n}{1+\sqrt{ n}} $$ ¿Existe?
Si es así, ¿cuál es el valor?
Wolfy dice que la suma a 10000 términos es 0.198104... y que $\sum_{n=1}^∞ \dfrac{e^{2 i n}}{\sqrt{n} + 1} = -0.258061 + 0.197808 i $ . No tengo ni idea de cómo obtuvo ese resultado.
La calculadora simbólica inversa da una serie de expresiones que se aproximan. La más interesante es $.2\sin(24\pi/53)$ .
Intenté escribir
$$ \sum_{n=1}^{m^2-1} \frac{\sin 2n}{1+\sqrt{n}} =\sum_{n=1}^{m-1} \sum_{k=n^2}^{(n+1)^2-1}\frac{\sin 2k}{1+\sqrt{k}} $$
pero esto no parece ayudar.
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Directo de la prueba de Dirichlet: La suma $\sum_{n=1}^N\sin 2n$ puede calcularse y acotarse explícitamente.