Mostrar $f^{(n-1)}(\xi) = 0$ para algunos $\xi$

Question

Dejemos que $f$ ser un $n$ función diferenciable en el intervalo $A$ . Si $x_1 < x_2 < \cdots < x_p$ son puntos en $A$ y $n_i, 1 \leq i \leq p,$ son números naturales tales que $n_1 + n_2 + \cdots + n_p = n$ y $f^{(k)}(x_i)=0$ para $0 \leq k \leq n_i -1,$ entonces existe un punto $\xi$ en el intervalo cerrado $[x_1,x_p]$ en el que $f^{(n-1)}(\xi) = 0$ .

No tengo ni idea de cómo enfocar esta cuestión y me gustaría recibir algún consejo.

He probado el teorema con algunos polinomios y ha funcionado. Por ejemplo, el polinomio $(x-3)^2(x-6)^3$ obviamente cumple los requisitos con $n_i=2,3$ para $3,6$ respectivamente. La cuarta derivada tiene una raíz en $4.8$ . Estos son ejemplos bastante obvios, por supuesto.

Edición: Debo subrayar que esto no puede hacerse aparentemente utilizando el teorema de Rolle, ya que sólo implica que $f^{(p-1)}(\xi) = 0$ para algunos $\xi$ y no para $n-1$ .

Answer 1

Sugerencia : Trabajo por inducción en $n$ y aplicar el teorema de Rolle entre las $x_i$ . Observe que $p$ y el $x_i$ ¡cambiará durante el paso inductivo! Usted quiere mantener el $x_i$ tal que $n_i \geq 2$ y añadir los que has encontrado con el teorema de Rolle.

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Bien, aquí hay un ejemplo. Supongamos que $$f(0) = f'(0) = f''(0) = f(1) = f'(1) = f(2) = 0$$ Así que aquí $p = 3$ , $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ , $x_3 = 2$ , $n_1 = 3$ , $n_2 = 2$ y $n_3 = 1$ ; $n = 3 + 2 + 1 = 6$ . Por el teorema de Rolle, existe $0 < a < 1 < b < 2$ tal que $f'(a) = f'(b) = 0$ .

Así que los nuevos valores serán: $x_1' = 0 < x_2' = a < x_3' = 1 < x_4' = b$ . Eliminamos $x_3 = 1$ de la lista, porque sólo teníamos $n_3 = 2$ . Los nuevos pedidos son $n_1' = 2, n_2' = n_3' = n_4' = 1$ . En esta situación, se puede aplicar la hipótesis de inducción para $f'$ ; se satisfacen todas las hipótesis, y $n' = n_1' + \dots + n_4' = 5$ .