Demostrar $\lim_\limits{n \to \infty}-\cos(\pi\sqrt{4n^2+10})$ existe y es igual a $-1$

Question

Mi idea es tomar dos subsequence convergentes a límites diferentes. En este paso tengo un problema. Cómo puedo establecer la ecuación de larga cuando $\cos$ tiene cierto valor y $n \to \infty$? $$ \lim_{n \to \infty}-\cos(\pi\sqrt{4n^2+10}) $$ Si yo digo que el $\frac{5}{4n^2} \to 0$$n \to \infty$, he a $\lim_{n \to \infty}-\cos(2\pi n) = -1$. Esto es correcto?

Answer 1

SUGERENCIA:

El coseno es continua y $$\pi\sqrt{4n^2+10}= 2\pi n\left(1+\frac5{4n^2}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)\right)$$

Answer 2

SUGERENCIA: Vamos $$ a_n=\sqrt{4n^2+10}-2n={10\\sqrt{4n^2+10}+2n}. $$ Está claro que $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$, y: $$ \cos(\pi\sqrt{4n^2+10})=\cos(2n\pi+\pi a_n)=\cos(\pi a_n). $$

Answer 3

También se puede discutir que el $$\cos(\pi\sqrt {4n^2+10})=\cos(\pi\sqrt {4n^2+10}-2\pi n) = \cos\left(\pi\frac{(\sqrt {4n^2+10})^2-4n^2}{\sqrt {4n^2+10}+2n}\right) = \cos\left(\pi\frac{10}{\sqrt {4n^2+10}+2n}\right).$$

Claramente, $\lim_{n\to\infty}\frac{10}{\sqrt {4n^2+10}+2n}=0$, por lo tanto, por la continuidad,

$$\lim_{n\to\infty} \cos(\pi\sqrt {4n^2+10})=\lim_{n\to\infty}\cos\left(\pi\frac{10}{\sqrt {4n^2+10}+2n}\right)=\cos 0=1. $$