Cómo evaluar $\int \sqrt{x^3+x^4} dx$

Question

Encontrar la integral: $\int \sqrt{x^3+x^4} dx$

Sé que podría utilizar WolframAlpha, pero me pregunto si hay una manera de calcular esta integral en una forma agradable (inteligente sustitución tal vez?).

Intentado un montón de diferentes maneras, pero no parecen encontrar una buena manera.

No quiero que para calcular la integral completo, yo solo pido una pequeña pista.

Answer 1

Aquí es un método sugerido, que consiste en completar el cuadrado y, a continuación, dos sustituciones.

$$\sqrt{x^3+x^4}=\frac x2\sqrt{(2x+1)^2-1}$$

Ahora establezca $y=2x+1, dy=2dx, x=\frac {y-1}2$ y el integrando se convierte en $$\frac {y-1}8\cdot\sqrt {y^2-1}$$

A continuación, utilice la sustitución de $y=\cosh z$