Supongamos $f$ es una analítica de la función con el poder de expansión de la serie $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n$, e $p = \sum_{n=0}^{d}b_nz^n$ es un polinomio. Si $f$ es un polinomio de grado mayor que $d$, $|f|$ crece más rápido de lo $|p|$, pero la situación no es tan clara cuando la expansión de la $f$ tiene infinitamente muchos distinto de cero de los coeficientes. Yo esperaría que el crecimiento de la función $f$, a continuación, a ser más rápido que el de $p$, como con la función de $e^z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$. Sin embargo, la función de $\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty}z^n$ también tiene infinitamente muchos distinto de cero de los coeficientes y crece más lento que cualquier polinomio (como $|z|\to\infty$). Me doy cuenta de que esto está relacionado con la falta de potencia de la serie converge en el exterior de un disco de radio $1$. También, $log(z)$ crece más lento que cualquier polinomio, pero cualquier potencia de la serie representación no convergen en un infinito de radio (que es La función en sí no puede ser bien definido en todas partes en el plano complejo a la vez).
Bajo qué condiciones podemos decir que un poder de la serie con una infinidad de cero los coeficientes representa una función que crece más rápido que cualquier polinomio? Esto es cierto para cualquier potencia de la serie con infinita radio de convergencia? Hay tal poder de la serie que crecen a la tasa de $z^\alpha$, para cualquier $\alpha\in(0,\infty)$?
Tengo en mente el caso de que $f$ es complejo-analítico, pero yo también estaría interesado en escuchar acerca de el caso de que $f$ es real-analítico, si los casos son diferentes.
