El sentido del modelo de regresión de primera diferencia

Question

Debe haber un error fundamental en mi enfoque. Empecemos diciendo que tenemos una regresión simple con dos variables $X_t$ y $Y_t$ :

$Y_t = BX_t + e_t$

Donde $B$ es el coeficiente y $e_t$ es el término de error. A continuación, tomamos la primera diferencia de dicha ecuación eliminando $Y_{t-1}$ de ambos lados:

$ Y_t-Y_{t-1} = BX_t+ e_t - Y_{t-1}$

Sustituir $Y_{t-1}$ de la primera ecuación:

$ Y_t-Y_{t-1} = BX_t+ e_t -BX_{t-1}-e_{t-1}$

\=> $Y_t = BX_t + e_t$

La primera regresión por diferencias se presenta a menudo de esta manera, pero luego, cuando se ejecuta realmente, se hace sustituyendo $X_t$ y $Y_t$ por sus diferencias, y no restando $Y_{t-1}$ de ambos lados:

$Y_t = B_1X_t + v_t$

Donde $v_t$ es el nuevo término de error de la ecuación. Ahora bien, estos procedimientos no son equivalentes, así que ¿por qué se describen como tales? Además, ¿por qué el término de error del modelo de primera diferencia se describe a menudo como $\Delta e_t$ cuando en realidad esto no es cierto ya que el término de error no está relacionado con el término de error original, ya que la ecuación estimada es simplemente diferente. Por último, ¿por qué no se realiza la primera regresión por diferencias restando el $Y_{t-1}$ de ambos lados, dando resultados equivalentes a la primera ecuación (en este caso sin datos de panel transversal)?

Answer 1

En realidad, los dos procedimientos son iguales. La diferencia entre $$ \Delta Y_t = B\Delta X_t + \Delta \epsilon_t $$ y $$ \Delta Y_t = B\Delta X_t + v_t $$ es que se puede estimar la segunda pero no la primera porque no se observa $\epsilon_t$ . Así pues, la primera ecuación es más bien un modelo teórico, mientras que la segunda es la ecuación de estimación que se utilizaría en la práctica. Si se quisiera restar directamente $Y_{t-1}$ de ambos lados manualmente, esto sólo se puede hacer si se observan los verdaderos errores. Se dará cuenta de que $v_t$ es una estimación de $\epsilon_t$ . Reordenar el modelo teórico y la ecuación de regresión, si $\Delta Y_t - B\Delta X_t = \Delta \epsilon_t$ y $\Delta Y_t - B\Delta X_t = v_t$ entonces debe ser cierto que $\Delta \epsilon_t = v_t$ . Consideremos un ejemplo sencillo con dos periodos de tiempo y $B=0.3$ siendo constante en el tiempo.

$$ \begin{array}{c|lc|r} time & Y_t & X_t & Y_t - BX_t =v_t \\ \hline 1 & 10 & 17 & \\ 2 & 13 & 21 & \\ \hline \Delta & 3 & 4 & 3 - 0.3\cdot 4 = 1.8 \end{array} $$

Supongamos que $v_t$ fue una estimación consistente de $\epsilon_t$ en todos los períodos (lo que es cierto aquí porque hemos especificado de forma determinista el proceso de generación de datos fijando $B$ ), entonces $\widehat{v}_t = \Delta \epsilon_t = 1.8$ es el residuo de nuestra segunda regresión como estimación del error de la primera ecuación.