Distancia en el modelo del disco de Poincaré de geometría hiperbólica

Question

Estoy tratando de entender el modelo del disco de Poincaré de una geometría hiperbólica y cómo medir distancias. Encontré la ecuación para la distancia entre dos puntos en el disco como: $d^2 = (dx^2 + dy^2) / (1-x^2-y^2)^2$ Dado dos puntos en el disco, estoy asumiendo que $dx$ es la diferencia en la coordenada euclidiana $x$ de los puntos, y similar para $dy$. Por lo tanto, ¿qué son $x$ e $y$ en la fórmula? Además, veo algunas fórmulas en línea como: $d^2 = 4(dx^2 + dy^2) / (1-x^2-y^2)^2$ No estoy seguro de cuál es la correcta.

Suponiendo que $X$ e $Y$ son las coordenadas de uno de los puntos, he intentado algunos ejemplos, pero no logro hacer que las matemáticas funcionen correctamente. Por ejemplo, si $A = (0,0)$, $B = (0,.5)$, $C = (0,.75)$, entonces ¿cuáles son $d(A,B)$, $d(B,C)$ y $d(A,C)$? El valor $d(A,B) + d(B,C)$ debería ser igual a $d(A,C)$, ya que están en la misma línea, pero no logro que esto funcione. Obteniendo distancias de $.666$, $.571$ y $1.714$ respectivamente.

MathWorld - Métrica Hiperbólica

Answer 1

Como han indicado otros, uno tiene que distinguir una distancia $(x, y)\mapsto d(x, y)$ que mide distancias entre puntos $x$, $y$ en un espacio $X$ y una distancia riemanniana que nos dice cómo se deben calcular las longitudes de curvas $\gamma$ en una variedad $X$.

En el plano complejo tenemos la métrica euclidiana habitual $d(z_1, z_2):=|z_2-z_1|$ y a escala infinitesimal la métrica Riemanniana $$ds^2:=|dz|^2=dx^2+dy^2\ .$$ La última fórmula dice que la longitud de una curva arbitraria $$\gamma: \quad t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)\qquad(a\leq t\leq b)$$ debe ser calculada como $$L(\gamma)=\int_\gamma ds=\int_a^b\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\ dt = \int_a^b|z'(t)|\ dt\ .$$ Esta fórmula implica que la longitud de un segmento $\sigma$ que conecta dos puntos $z_1$ y $z_2$ es simplemente $|z_2-z_1|$.

En el "disco de Poincaré" $P$ solo tenemos a priori una métrica Riemanniana $$ds:= {|dz|\over 1-|z|^2}$$ (o $ds^2=\ldots$). Esta métrica nos permite calcular las longitudes de curvas arbitrarias en $P$: $$L(\gamma)=\int_a^b{|z'(t)|\over1-|z(t)|^2}\ dt\ .$$ La definición particular de $ds$ se elige de tal manera que esta longitud hiperbólica sea invariante bajo movimientos conformes arbitrarios de $P$ y las curvas en él.

A posteriori se puede definir una métrica $d(\cdot,\cdot)$ en $P$ dejando que la distancia $d(z_1, z_2)$ entre dos puntos $z_1$, $z_2\in P$ sea la longitud hiperbólica de la curva más corta $\gamma$ que conecta $z_1$ y $z_2$. La implementación concreta de esta idea muestra que $d(z_1, z_2)$ se puede escribir como una función elemental (usando ${\rm artanh}$, etc.) en términos de $z_1$ y $z_2$.

Answer 2

La fórmula correcta que es posible memorizar es para la mitad superior del plano en $\mathbb C$. Las geodésicas de velocidad unitaria allí son de solo dos tipos, parametrizadas por una letra $t,$ con constante real $B > 0$ y cualquier $A,$ vertical $$ A + i e^t,$$ semicircular $$ A + B \tanh t + i B \; \mbox{sech} \; t.$$ Esta última puede parecer desconocida, nota $$ \cosh^2 t - \sinh^2 t = 1, $$ $$ \cosh^2 t = \sinh^2 t + 1, $$ dividimos por $\cosh^2 t$ para obtener $$ 1 = \tanh^2 t + \mbox{sech}^2 t. $$ Dos puntos en la mitad superior del plano están en una línea vertical o no. En el último caso, es necesario trazar el bisector perpendicular del segmento ordinario entre ellos y averiguar dónde golpea el eje real para encontrar $A,$ luego $B$ después.

Mientras tanto, una isometría llevando el disco unitario a la mitad superior del plano es la transformación Moebius $$ f(z) = \frac{z + i}{i z + 1} .$$ Los puntos que diste estaban a lo largo del eje imaginario, y para $v$ real $$ f(iv) = i \; \left( \frac{1+v}{1-v} \right). $$ Tus tres puntos específicos dieron $$ f(0) = i, \; f(i/2) = 3 i, \; f(3i/4) = 7i. $$ Estos están a lo largo de la geodésica vertical $i e^t,$ por lo que sus distancias mutuas son solo los valores absolutos de las diferencias en los valores necesarios de $t,$ que son $0, \; \log 3, \; \log 7. $ Así que tu $$ d(A,B) = \log 3 \approx 1.0986, $$ $$ d(B,C) = \log 7 - \log 3 \approx 0.8473, $$ $$ d(A,C) = \log 7 \approx 1.9459. $$

Además, la rotación del disco unitario es una isometría allí, por lo que siempre que tengas puntos a lo largo de un radio del disco, las distancias al origen (y entre sí por sustracción) son bastante específicas: si un punto en el disco unitario está a una distancia "ordinaria" $v$ del origen, con el requerido $0 \leq v < 1,$ entonces la distancia "hiperbólica" desde el origen es $$ \log \left( \frac{1+v}{1-v} \right). $$ Sin embargo, si tus dos puntos de interés no están a lo largo de un radio, debes encontrar una transformación Moebius del disco en sí mismo que los lleve a un radio común (hay tales) o mapear directamente a $\mathbb C$ con mi $f(z)$ y trabajar con $\tanh t.$ Este último método probablemente es menos trabajo y menos propenso a producir errores que el método anterior.

Answer 3

Hay 2 ideas relacionadas pero diferentes que se conocen como "métricas". La primera es una "métrica" como en "espacio métrico". Es una función $d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$ que satisface algunos axiomas (como la desigualdad triangular).

Por otro lado, una variedad suave puede estar equipada con lo que se llama una "métrica riemanniana" o, confusamente, simplemente una "métrica" en corto. Recordemos que en una variedad, cada punto tiene asociado un espacio vectorial, llamado espacio tangente en ese punto. Una métrica riemanniana, entonces, es una elección suavemente variable de producto interno en cada espacio tangente. Una métrica riemanniana nos permite determinar longitudes (y ángulos) de vectores tangentes. La notación $$ds^2 = \frac{dx^2 + dy^2}{(1-x^2-y^2)^2}$$ es la de una métrica riemanniana. Esto te dice que el vector tangente $\vec{v} = (v_1, v_2)$ con origen en el punto $(x,y)$ tiene longitud $\frac{v_1^2 + v_2^2}{(1-x^2-y^2)^2}$.

Entonces, una métrica riemanniana nos permite medir la longitud de curvas (lo suficientemente buenas). Dada una curva diferenciable $\gamma$, la longitud de $\gamma$ se define como $\int_\gamma |\gamma'(t)|dt$. Esto, entonces, nos lleva de nuevo a la noción (topológica) usual de una métrica: Podemos definir la distancia entre dos puntos como la distancia mínima entre todas las curvas entre ellos.

Answer 4

El punto es que $dx$ y $dy$ en la fórmula (la que tiene el 4 está correcta por cierto) no representan la diferencia en las coordenadas $x$ y $y, sino más bien la distancia 'infinitesimal' en el punto $(x,y)$, por lo que para encontrar la distancia entre dos puntos realmente tenemos que hacer alguna integración.

Así que la idea es que en el punto $(x,y)$ en coordenadas euclidianas, la longitud al cuadrado, $ds^2$, de una línea infinitesimalmente pequeña es la suma de las proyecciones infinitesimales de esa línea en los ejes $x$ e $y$ ($dx^2$ y $dy^2$) multiplicada por un factor de escala que depende de $x$ y $y ($\frac{4}{(1-x^2-y^2)^2}$).