Dirección de correspondencia entre el tensor de productos

Question

Supongamos $A$ $B$ son conmutativas anillos, $A\to B$ es un anillo mapa, y $M, N$ $B$- módulos. Hay un mapa de $M\otimes_A N \to M\otimes_B N$ o en la otra dirección?

Esto debería ser muy simple, pero por alguna razón, estoy confundido.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Hay una natural mapa de $M\otimes_AN\to M\otimes_BN$, que se asigna a$m\otimes n$$m\otimes n$.

Answer 2

Aquí hay otra manera para ver por qué un "natural" mapa de $M \otimes_A N \rightarrow M \otimes_B N$ existe: tenemos que $M \otimes_B N \cong (M \otimes_A N) / E$ donde $E$ $A$- submódulo de $M \otimes_A N$ que es generada por todos los elementos de la forma $x \otimes_A by - bx \otimes_A y$ todos los $x \in M, y \in N, b \in B$. Por lo tanto el mapa de $M \otimes_A N \rightarrow M \otimes_B N$ no es sino la natural proyección de$M \otimes_A N \rightarrow (M \otimes_A N)/E$.

Answer 3

Sólo una elaboración de Mariano respuesta. Hay un mapa de $M \otimes_A N \to M \otimes_B N$ inducida por la $A$-bilineal mapa de $(m, n) \mapsto m \otimes n$. Esto sin duda funciona.

¿Por qué no intercambiar $A$ $B$ aquí? Mi razonamiento es que para que esto sea natural que me gustaría un natural $B$-módulo de estructura en $M \otimes_A N$ y no veo uno, parece que tendría que elegir uno de los factores. Incluso si yo hice esto, yo tendría que tener $(bm) \otimes n = m \otimes (bn)$ dentro de $M \otimes_A N$ y no hay ninguna razón para que esto suceda: tome $A = k$$B = M = N = k[x]$.

Tal vez este ejemplo nos puede ayudar a recordar la dirección: ¿tiene más sentido tener un surjective mapa de $k[x, y] \to k[x]$ o al revés?

Answer 4

Algunos pensamientos: tal vez parte de la confusión es que se puede pensar de estos objetos como $A$ o $B$-módulos en diferentes wayts. Podemos pensar de $M,N$ como izquierda y derecha $B$ módulos, por lo que voy a indicar como $\sideset{_{B\ } }{_B} M$$\sideset{_{B\ } }{_B} N$. Un anillo homomorphism $r$ nos permite refundición de estos módulos en la derecha o la izquierda. Así que vamos a suponer que queremos tensor de los módulos a través de $A$. Nos refundición $M$ como izquierda, B, derecha-Un módulo con $r$, y voy a denotar el objeto resultante por $\sideset{_{B\ } }{_r} M$. $N$ se recrea como $\sideset{_{r\ } }{_B}N$. Ahora llevamos el producto tensor: $\sideset{_{B\ } }{_r} M \otimes_A \sideset{_{r\ } }{_B}N$ y ver un $B$-módulo. El interior de las cosas "ocultas" de nosotros y sólo podemos interactuar con el objeto de la izquierda y la derecha, utilizando la multiplicación de $B$.

Pero también hay un $B$-módulo de $\sideset{_{B\ }}{_B} M \otimes_B \sideset{_{B\ } }{_B}N,$, por lo que me cuentan cuatro diferentes izquierdo módulos definidos usando el tensor de producto: los dos $B$-módulos definidos, y el resultado de cambiar sus valores escalares de uso $r$. Así que hay un montón de opciones para lo que usted desea que su se asigna a hacer, y usted tiene que pensar cuidadosamente acerca de qué tipo de mapa que usted tiene (módulo homomorphism? abelian grupo homomorphism?)

No estoy seguro de qué tipo de mapa que desee en el post original, pero tal vez esto es: hay dos maneras de obtener un $A$-módulo. Podemos 1) restringir $M,N$ en el interior, tensor de más de $A$, y, a continuación, restringir la resultante $B$-módulo O 2) tensor de más de $B$ y restringir la resultante $B$ módulo. Con mi notación, la primera está escrito $\sideset{_{r\ }}{_r} M \otimes_A \sideset{_{r\ } }{_r}N$, mientras que el segundo es $\sideset{_{r\ }}{_B} M \otimes_B \sideset{_{B\ } }{_r}N$. Estos viven en $A$-módulo mundo. Ahora, si nos envíe el par $(m,n)$$m\otimes_B n$, entonces esta es, obviamente, $A$- bilineal, y así vemos a un $A$-módulo homomorphism $$\sideset{_{r\ }}{_r} M \otimes_A \sideset{_{r\ } }{_r}N \rightarrow \sideset{_{r\ }}{_B} M \otimes_B \sideset{_{B\ } }{_r}N.$$ The point is that the stuff on the left is pairs modulo moving $r(a)$ from one side to the other, and the right side is pairs modulo moving anything in $B$ de un lado para el otro, así es "más pequeño", y obtenemos un surjective mapa.

Tenga en cuenta que usted podría estar tentado a probar y definir el mismo mapa $$\sideset{_{B\ }}{_r} M \otimes_A \sideset{_{r\ } }{_B}N \rightarrow \sideset{_{B\ }}{_B} M \otimes_B \sideset{_{B\ } }{_B}N$$ up on the level of $B$-modules using the same universal property. This won't quite work, because the tensor product is between $$-modules, not $B$-modules! So the LHS no longer possesses the universal property. But I wouldn't be surprised if there was some sort of universal property for $r(a)$-bilinear maps in $B$-módulos disfrutado por la LHS, que permitiría a este mapa de existir. Tal vez alguien va a demostrar que estoy equivocado.

Answer 5

Cada $B$-bilineal mapa también es $A$-bilineal (cuando restringimos escalares a través de $A \to B$, lo que voy a denotar por $|_A$). Por lo tanto, no es una transformación natural $\mathrm{Bilin}_B(M,N,-) \hookrightarrow \mathrm{Bilin}_A(M|_A,N|_A,(-)|_A)$ de functors $\mathsf{Mod}(B) \to \mathsf{Set}$. El Yoneda Lema nos dice que esto corresponde a un homomorphism de $A$-módulos de $M|_A \otimes_A N|_A \to (M \otimes_B N)|_A$. La gente suele olvidar el olvido functor ;) y escribir $M \otimes_A B \to M \otimes_B N$ para este.