$\hbar$, el momento angular y la acción

Question

¿Hay algo interesante que decir sobre el hecho de que $\hbar$, el momento angular y la acción tienen las mismas unidades o es pura coincidencia?

Answer 1

Las dimensiones de

1. la constante de Planck $\hbar$,
2. la acción $S$, y
3. el momento angular,

están limitados por los siguientes hechos importantes:

1. Un par conjugado de dos observables es la mecánica cuántica relacionado con la constante de Planck $\hbar$ a través de una incertidumbre de Heisenberg relación.

2. Un par conjugado de dos variables clásicamente relacionada con la acción $S$ a través del Teorema de Noether, cf. por ejemplo, este Phys.SE post. Escuchar por ejemplo a Richard Feynman aproximadamente 50 minutos en este vídeo de Youtube.

3. El conjugado de variable a un momento angular es un ángulo (posición angular), que es generalmente tratada como adimensional.

Answer 2

Permítanme responder utilizando palabras diferentes pero con el mismo espíritu que Qmechanic.

Indudablemente, no es una coincidencia que $\hbar, S, \vec J$ tienen las mismas unidades. Primero de todo, $\hbar$ es el cuántico del momento angular o el quantum de la acción, una constante universal que determina la intensidad de los efectos cuánticos. Así que si usted adoptar una de estas dos definiciones, la de explicar por qué $\hbar$ tiene las mismas unidades como $S$ o $\vec J$ (sólo uno de ellos) y reducir la cuestión a la pregunta de por qué el momento angular y la acción tienen las mismas unidades.

No es difícil ver por qué el momento angular y la acción tienen las mismas unidades. Tanto puede ser escrito como $p\cdot x$, dimensionalmente hablando. El (orbital) el momento angular se define como $\vec r \times P$; el colector de $x,p$$xp-px=i\hbar$, lo que puede haber incluido también, tiene las unidades de posición de veces impulso; y la acción tiene las mismas unidades, porque la acción tiene las mismas unidades que el Lagrangiano de veces el tiempo de $Lt$ que es la misma que la de las unidades de la Hamiltoniana veces el tiempo de $Ht$ y debido a $p\dot x$ aparece en la diferencia/la suma entre el$L$$-H$,$L+H$, es claro que $Lt$ tienen unidades de $px$, demasiado.

Debido a que la intensidad de los efectos cuánticos se determina por $\hbar$ que tiene las mismas unidades que la acción $S$ o el momento angular $\vec J$, se deduce que tanto $S/\hbar$ $\vec J/\hbar$ son adimensionales: no tienen unidades.

Ambos de estos hechos tienen una sólida e importante de la explicación de los fundamentos de la mecánica cuántica. La acción dividido por la reducción de la constante de Planck es lo que aparece en el exponente de Feynman de la ruta integral, $$ {\mathcal A}_{i\to f} = \int {\mathcal D}\phi\cdot \exp(iS[\phi]/\hbar) $$ y los exponentes tienen que ser adimensional, por supuesto. A partir de este Feynman enfoque, se podría determinar que la constante de la medición de la intensidad de los efectos cuánticos tiene las mismas unidades que la acción.

De forma análoga, se puede decir una cosa similar sobre el momento angular. La razón es que los operadores de $J_x/\hbar$ $J_y/\hbar$ tiene un conmutador $$ [\frac{J_x}{\hbar}, \frac{J_y}{\hbar}] = i \frac{J_z}{\hbar}$$ igual simplemente el último componente de $\vec J/\hbar$, sin ningún extra de los coeficientes. Así que estos tres operadores de generar un impecable $SU(2)$ o $SO(3)$ "álgebra de la Mentira" en la radio sin unidades matemática de normalización. (Bueno, los matemáticos también se incluyen las $i$ en cada generador, de modo que no sería aún no prefactor de $i$ en el lado derecho.) Por esta razón, los autovalores de a $J_z/\hbar$ son cuantificadas: son inevitablemente múltiplos de $\hbar/2$. Podemos decir que el $\hbar/2$ es la primaria cuántico del momento angular. (El momento angular orbital es un múltiplo de a $\hbar$ sin el factor de 1/2.)

Sólo con un poco de conocimiento de Noether del teorema que se vincula con las leyes de conservación y las simetrías, uno podría haber sido capaz de adivinar – antes de que él aprendió el pleno de la mecánica cuántica – que el momento angular debe estar relacionado con los generadores de rotaciones. Debido a que los ángulos de rotación son adimensionales, los generadores tienen que ser adimensional, así que significa que la mecánica cuántica debe contener una constante cuyas unidades son las mismas que las del momento angular, de modo que es posible construir una adimensional $\vec J/\hbar$ fuera de ellos.

Es un poco difícil encontrar una forma más "directa" de la relación entre el momento angular y de la acción, a pesar de tener las mismas unidades. En particular, el momento angular está cuantizado, un múltiplo de $\hbar/2$ como ya he mencionado. Por el contrario, la acción $S$ es continua. Como Feynman ruta integral de la muestra, la acción $S$ es en realidad sólo tiene sentido en la mecánica cuántica hasta a los cambios por los múltiplos de $2\pi\hbar$. Tales cambios no cambiar la exponencial. De modo que el momento angular sólo permite que el entero (o la mitad de entero) los valores; por otro lado, la acción sólo se preocupa por las partes fraccionarias! Por lo tanto la acción y el momento angular nunca son "la misma cosa" en cualquier sentido, a pesar de sus unidades idénticas. Después de todo, el momento angular es un pseudovector (un conjunto particular de cantidades conservadas en rotacionalmente simétricas teorías), mientras que la acción es el último espacio-tiempo escalar la definición de una teoría y invariantes bajo todo.

Answer 3

Aunque las respuestas hasta ahora a esta preguntas son muy interesantes e informativos, creo que desde un punto de vista analítico, tu pregunta no es muy sensato.

En una estructura matemática, uno podría argumentar que no hay "coincidencias", todo está relacionado a través de la base fundamental. Ahora, en la práctica, las respuestas expain por qué "$\hbar$", "momento angular" y "la acción $S$" están relacionados. Pero si los "mass $m$", "posición" $x$ " y "momentum $p$" tendría las mismas unidades, entonces también habría una explicación para eso, porque estas son partes de una teoría física, puesto en términos matemáticos.

Así que si usted pregunta "¿hay algo interesante que decir sobre el hecho de que ℏ, el momento angular y la acción tienen las mismas unidades o es pura coincidencia?" (y lo hace), entonces la respuesta es "Sí.", opcionalmente seguido por una elaboración de la estructura matemática de la teoría, una búsqueda de un denominador común.