Dada la serie $$\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{6j^2-5j+1}$$ Estoy completamente atascado y no entiendo la respuesta de mi libro que es $\pi^2/36-1$ . Necesito una explicación y un enfoque diferente de cómo se obtiene este resultado. Gracias
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Reescribe tu serie como : \begin{align} \tag{1}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{6j^2-5j+1}&=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{(3j-1)(2j-1)}\\ &=\sum_{j=0}^{\infty}\frac2{2j-1}-\frac3{3j-1}\\ \tag{2}&=-2+3+\sum_{j=1}^{\infty}\frac1{j-\frac 12}-\frac1{j-\frac 13}\\ &=1-\psi\left(1-\frac 12\right)+\psi\left(1-\frac 13\right)\\ \tag{3}&=1+2\ln(2)-\frac{3\ln(3)}2+\frac{\pi}{2\sqrt{3}}\\ &\approx 1.645275610234835007\\ \end{align} utilizando el valores especiales de la función digamma (o la Suma de digamos de Gauss ) y el método de resolución expuesto en el excelente Abramowitz y Stegun $(6.8)$ .
Aquí es posible una derivación más "elemental" si observamos que para cualquier número entero $n>1$ : \begin{align} \sum_{j=1}^{\infty}\frac1{j-\frac 1n}-\frac1{j}&=\sum_{j=1}^{\infty}\int_0^1x^{j-\frac 1n-1}-x^{j-1}\;dx\\ &=\int_0^1 \sum_{k=0}^{\infty}\left(x^{k-1/n}-x^{k}\right)\;dx\\ &=\int_0^1 \frac{x^{-1/n}-1}{1-x}\;dx\\ \text{setting}\ x:=y^n\ \text{ we get :}\\ &=n\int_0^1 \frac{y^{-1}-1}{1-y^n}y^{n-1}\;dy\\ &=n\int_0^1 \frac{y^{n-2}-y^{n-1}}{1-y^n}\;dy\\ \text{that may be solved using}&\text{ partial fractions.} \end{align} Desde $(2)$ necesitamos : \begin{align} \sum_{j=1}^{\infty}\frac1{j-1/2}-\frac1{j-1/3}&=2\int_0^1 \frac{1-y}{1-y^2}\;dy-3\int_0^1 \frac{y-y^2}{1-y^3}\;dy\\ &=2\ln(2)-3\int_0^1 \frac{y}{1+y+y^2}\;dy\\ &=2\ln(2)-\frac 32\left(\int_0^1 \frac{1+2y}{1+y+y^2}\;dy-\int_0^1 \frac 1{(3/4)+(y+1/2)^2}\;dy\right)\\ &=2\ln(2)-\frac 32\left|\ln(1+y+y^2)-\frac 2{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{1+2y}{\sqrt{3}}\right)\right|_0^1\\ &=2\ln(2)-\frac {3\ln(3)}2+\sqrt{3}\left(\arctan\left(\sqrt{3}\right)-\arctan\left(\frac1{\sqrt{3}}\right)\right)\\ \end{align} Añadiendo $1$ de $(2)$ obtenemos de nuevo el resultado $(3)$ : $$\boxed{\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{6j^2-5j+1}=1+2\ln(2)-\frac{3\ln(3)}2+\frac{\pi}{2\sqrt{3}}}$$
