Línea quebrada NO es diffeomorphic a la línea real

Question

Esto es de Bredon de la Topología y la Geometría, en la página 71. Esto viene después de que la propia definición de variedad diferenciable, por lo que creo que no se utiliza el espacio de la tangente o 'diferencial' está permitido. (Bredon da dos defenitions, uno de los habituales gráfico y atlas definición, el otro con la estructura funcional. A continuación, explica que los dos son equivalentes).

4. Deje $X$ ser la gráfica de la función con valores reales $\theta(x) = |x|$ de una variable real $x$. Definir una estructura funcional en $X$ tomando $f \in F(U) \iff f$ es la restricción a $U$ $C^\infty$ función en algún conjunto abierto $V$ en el avión con $U = V \cap X$. Mostrar que $X$ con esta estructura es la que no diffeomorphic a la línea real con la costumbre de $C^\infty$ estructura.

Yo pienso que si hay alguna diffeomorphism, algo malo sucede en $(0,0)$, pero simplemente no puedo averiguar... por Favor me ilumine.

Answer 1

Nota: Esta es una extensión de mi comentario anterior. Como dije, no estoy muy acostumbrado a la definición de los colectores como funcionalmente estructurado espacios, pero creo que los siguientes trabajos. La idea viene de la pregunta similar encontrado aquí. Comentarios sobre posibles errores son bienvenidos.

Respuesta: de Acuerdo a Bredon la definición 2.4, un diffeomorphism se define como un isomorfismo de las estructuras, por lo que es suficiente para mostrar (según la definición 2.3) que hay abierto conjuntos de $U \subseteq X$ $V \subseteq \mathbb{R}$ tal de que no hay isomorfismo entre el $(U, F_X(U))$ $(V, C^\infty(V))$ existe.

Suponga que existe un isomorfismo $\varphi: X \rightarrow \mathbb{R}$, y deje $U \subseteq X$ $V \subseteq \mathbb{R}$ dos barrios alrededor del origen (por ejemplo,$U = X$$V = \mathbb{R}$). A continuación, la inducida por los mapas en las estructuras que se dan como

\begin{equation} \phi: C^\infty(V) \rightarrow F_X(\varphi^{-1}(V)),\quad f \mapsto f \circ \varphi \end{equation}

y

\begin{equation} \tilde \phi: F_X(U) \rightarrow C^\infty(\varphi(U)),\quad f \mapsto f \circ \varphi^{-1} \end{equation}

Ahora, considere el mapa de $\pi_2(x,y) = y$, es decir, la proyección sobre la segunda coordenada en $\mathbb{R}^2$. Este es un buen mapa alrededor del origen en el plano, por lo tanto $f := \pi_2\mid_U \in F_X(U)$. Ahora, desde la $\varphi$ es un isomorfismo, necesitamos tener una contraparte de $f$$C^\infty(\varphi(U))$. Pero el mapa

\begin{equation} \tilde\phi(f) = \pi_2\mid_U \circ \varphi^{-1} \end{equation}

no es liso en torno al origen, por lo tanto $\tilde\phi(f) \notin C^\infty(\varphi(U))$, un contradiciton. Así que no existe isomorfismo de estructuras entre el$(X, F_X)$$(\mathbb{R}, C^\infty)$, lo que significa que no son diffeomorphic el uno al otro.

Answer 2

Esto no es una respuesta completa, más como una sugerencia. Creo que esto puede ser muestra de la siguiente manera. Dado un punto de $x\in X$ deje $J_x\subset C^\infty (X,\mathbb R)$ a ser el ideal de las funciones de fuga en $x$. Luego de considerar el cociente $J_x/(J_x)^2$ donde $(J_x)^2$ es generado por todos los productos de dos funciones que ambos desaparecen en $x$. Si $\phi:X\to\mathbb R$ sería un diffemorphism, a continuación, $\phi^*$ podría inducir lineal isomorfismo $J_{\phi(x)}/(J_{\phi(x)})^2\to J_x/(J_x)^2$ por cada $x\in X$. Pero en $\mathbb R$, cada uno de estos quitents es unidimensional (un isomorfismo está dada por la asignación de la clase de $f$ a la derivada en el punto en cuestión). En contraste, para $0\in X$, el cociente de un espacio de dos dimensiones, correspondientes a los derivados que vienen desde la izquierda y desde la derecha. (Por supuesto, esto secretely utiliza la cotangente espacios, pero creo que debería ser elemenatry suficiente ...)