¿Por qué es la derivada de la $\arctan$ igual a la parte de abajo de la longitud del triángulo?

Question

Considere la posibilidad de un triángulo rectángulo en el círculo unidad:

Sabemos que $\frac{d}{da}\arctan(a)=\frac{1}{1 + a^2}$. Y tenemos

$$ \begin{aligned} r^2 + (ra)^2 &= 1\\ r^2(1 + a^2) &= 1\\ r^2 &= \frac{1}{1 + a^2}\\ \frac{d}{da}\arctan(a) &= r^2\\ \end{aligned} $$

Me pareció muy sorprendente. ¿Por qué la tasa de cambio de $\theta$ a medida que cambia la relación de $a$ ser igual a la longitud de la parte inferior de la pierna, el cuadrado? Me gustaría una explicación intuitiva (handwavy está muy bien) de por qué estas dos cosas deben estar relacionados. O, si no es eso, es una derivación del resultado por otros medios o de otra manera de mirarlo.

Answer 1

Usted está tomando un triángulo recto, con las piernas $\;r\,,\,\,ra\;$ y la hipotenusa $\;1\;$ , de la que se obtiene a la vez $\;r(1+a^2)=1\;$. Observar que si ponemos $\;\theta=\text{angle between hyopotenuse and horizontal leg}\;$, luego tenemos

$$\tan\theta=\frac{ra}r=a\implies \theta=\arctan a$$

Por la inversa de la función derivada teorema, tenemos por lo tanto que

$$(\arctan a)'=\left.\frac1{(\tan \theta)'}\right|_{a\leftrightarrow\theta}=\left.\cos^2\theta\right|_{a\leftrightarrow\theta}=\left.\frac1{1+\tan^2\theta}\right|_{a\leftrightarrow\theta}=\frac1{1+a^2}$$