Historia de las curvas elípticas

Question

En cierto sentido, las curvas elípticas son un objeto bastante moderno, ya que algunas de sus propiedades no se han estudiado hasta el último siglo aproximadamente. Pero en otro sentido son un objeto muy clásico para estudiar las ecuaciones diofantinas. Por ejemplo, es posible "usarlas" implícitamente y demostrar hechos sobre ellas sin conocer realmente el concepto formal, como hizo Ramanujan con las formas modulares.

Así que mi pregunta es ¿cuál es la historia de las curvas elípticas? ¿Cuándo se formalizó la noción y por quién? ¿Hay alguna referencia al respecto?

Answer 1

Clebsch, en la década de 1860, demostró que las curvas de género 0 están parametrizadas por funciones racionales, y que las de género 1 están parametrizadas por funciones elípticas. Juel dio una interpretación geométrica Juel dio una interpretación geométrica de la ley de grupo en la década de 1890, Poincare se preguntó en 1901 si los puntos racionales de una curva de género 1 están generados finitamente, y Mordell lo demostró en la década de 1920.

Como ejemplos, las soluciones integrales de $y^2 = x^3 - 2$ etc. fueron determinados (sin pruebas) por Fermat, y Euler lo resolvió más tarde usando números algebraicos. Hay toda una industria de matemáticos que intentaron resolver tales ecuaciones a finales del siglo XIX (Lucas, Sylvester, B. Levi, etc.).

La teoría moderna despegó en los años 30 con los trabajos de Hasse sobre el número de puntos en curvas elípticas sobre campos finitos, que posteriormente fueron generalizados por Weil con sus conjeturas.

Answer 2

Acabo de terminar un curso de posgrado en curvas elípticas de Ezra Brown aquí en Virginia Tech. Le encanta escribir artículos expositivos en matemáticas y me acabo de dar cuenta (no es sorprendente) de que es un coautor en el artículo citado por Álvaro. Tal vez quieras echar un vistazo a algunos de sus otros artículos, aquí hay otro: http://www.math.vt.edu/people/brown/doc/dioellip.pdf

Answer 3

Puede que quieras echar un vistazo a esto:

A. Rice y E. Brown, "Por qué las elipses no son curvas elípticas". Revista de Matemáticas 85 (2012), 163-176.

De su artículo:

Por lo tanto, daremos un paseo por la historia de las matemáticas, encontrando primero la elipse, pasando por las integrales elípticas, luego por las funciones elípticas, saltando de nuevo a las curvas elípticas, y finalmente haciendo la conexión entre las funciones elípticas y las curvas elípticas. Entonces estaremos finalmente en condiciones de averiguar por qué ninguna curva plana de forma elíptica puede llamarse curva elíptica.