Nos puede producir una larga secuencia exacta en la cohomology de más que corto exacta de las secuencias?

Question

Es bien sabido que una breve secuencia exacta $$0\rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0,$$ podemos formar una larga secuencia exacta en la cohomology. (Ejemplo: la prueba de Mayer-Vietoris secuencia.)

Este es tal vez no es demasiado sorprendente. Después de todo, se nos da una buena relación algebraica entre $A$, $B$, y $C$, por lo que parece sensato que podemos obtener buena información acerca de su cohomology grupos. Y, si estamos dispuestos a ser metafórico, supongo que podemos pensar de corto exacta de las secuencias, como una especie de versión algebraica de una fibration y el largo de la secuencia exacta aquí como un análogo de la larga secuencia exacta para un fibration de la topología algebraica. Tengo dos preguntas a lo largo de estas líneas.

1. ¿Hay alguna manera de hacer este intuición más precisa? ¿Por qué debería corto exacta de las secuencias de llevar a la larga exacta secuencias en cohomology? Es comparando este resultado con ejemplos de topología algebraica el derecho manera de pensar, o es otro enfoque más filosófico iluminador? (He oído que en general la forma correcta de entender los resultados de álgebra homológica es volver a sus raíces en topología algebraica para obtener la intuición. Comentarios sobre este sería también se aprecia.)

2. ¿Qué es tan especial acerca de la exacta secuencias con tres términos? Podemos obtener toda la información sobre cohomology de exacta secuencias como

   $$0\rightarrow \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow 0\, ?$$

He mirado en nLab, y esta página sugiere que puede haber algo de satisfacción general de la explicación en términos de la categoría de la teoría, pero no puedo hacer mucho sentido. (Confieso que siempre me acaba de asumir abelian categorías son categorías de módulos y trate de no preocuparse por los detalles...)

Answer 1

Supongo que podemos pensar de corto exacta de las secuencias, como una especie de versión algebraica de una fibration y el largo de la secuencia exacta aquí como un análogo de la larga secuencia exacta para un fibration de la topología algebraica.

Esta analogía se puede hacer preciso el uso de la noción de homotopy límites, específicamente la noción de homotopy de la fibra y la fibra de la secuencia. En definitiva, en cualquier categoría superior con cero objetos (por ejemplo, cualquiera de los complejos de la cadena o de la punta de los espacios), dado un morfismos $f : E \to B$, en repetidas ocasiones de tomar homotopy fibras (la homotopy retroceso del diagrama de $E \rightarrow B \leftarrow \bullet$ donde $\bullet$ es el objeto de cero) da una "fibra larga secuencia"

$$\cdots \to \Omega F \to \Omega E \to \Omega B \to F \to E \to B$$

donde cada objeto es el homotopy de la fibra de la anterior morfismos. Esta construcción, después, posiblemente, la aplicación de algunas auxiliar functors, es responsable de todos los tiempo exacto secuencias en las matemáticas. Hay una doble construcción que involucra tomar homotopy cofibers (que son ciertos homotopy pushouts), pero es sólo esta construcción en el frente de la categoría, aunque a veces se realiza sin cero objetos (puede hacerlo en los espacios, no se señaló espacios, utilizando el punto, que es la terminal de objeto). Que parece

$$A \to B \to C \to \Sigma A \to \Sigma B \to \Sigma C \to \cdots$$

y es la capacidad para formar estos "largo cofiber secuencias" que triangulaba categorías imperfectamente intento de captura.

En particular, este curioso período-$3$ comportamiento tanto de las secuencias anteriores no es un artefacto y no ha sido puesto en la mano, cae naturalmente de mayor categoría universal propiedades.

Lo que es especial acerca de corta exacta de las secuencias con tres términos es que el primer término es el homotopy de la fibra de los morfismos entre los dos términos, o, equivalentemente, (esto es especial para "estable" contextos como los complejos de la cadena y espectros) el tercer término es el homotopy cofiber de los morfismos entre los dos primeros términos.

Una secuencia exacta con más de tres términos, da lugar a una secuencia espectral. (En realidad esto es cierto incluso sin exactitud, aunque creo exactitud hace que el espectro de la secuencia más agradable.)