¿Por qué una sigma-álgebra de representar la información disponible en un momento dado? Entiendo la idea de filtración y detener a tiempo, dado que cada una sigma-álgebra de representar la información que se nos tiene en un momento determinado, pero ¿por qué?
Por ejemplo, en un juego de dados de rollos (o quien quiera), lo que sería total del universo y de la información disponible en las formas de sigma-álgebra, en la n-ésima vez? gracias
En un juego de tiradas de dados, el universo total $\Omega$ sería irrelevante (como casi siempre en los modelos probabilísticos, como el tiempo que es lo suficientemente grande) y el sigma-álgebra después de la $n$th rollo $X_n$$\mathcal F_n=\sigma(X_k;1\leqslant k\leqslant n)$. El mundial de sigma-álgebra $\mathcal F$ $\Omega$ puede ser de cualquier sigma-álgebra que contiene $\mathcal F_\infty=\sigma(X_k;k\geqslant 1)$ desde uno quiere cada función $X_n:\Omega\to\{0,1\}$ a ser una variable aleatoria en $(\Omega,\mathcal F)$, es decir, ser medibles con respecto a $\mathcal F$.
Una escala de tiempo de interpretación podría ser útil aquí. Imagina que el $n$th tiro que sucede en el tiempo $n$. Entonces, en el momento $n$, los resultados de la $X_k$ $k\geqslant n+1$ aún no están disponibles, por lo tanto, uno puede combinar los valores de $X_k$ $k\leqslant n$ en alguna manera mensurable y permanecer en el reino de las variables aleatorias que se puede medir con respecto a $\mathcal F_n$, pero no cualquier valor de $X_k$ $k\geqslant n+1$ ya que estos tiros no ocurrir todavía.
Tenga en cuenta que el mundial de sigma-álgebra $\mathcal F$ puede contener alguna información extra no en $\mathcal F_\infty$, por ejemplo, la temperatura de $T_n$ de la habitación donde el $n$th tiro se produce, y/o la edad de $A_n$ del operador de lanzar la $n$th dados, y así sucesivamente.
El Doob-Dynkin lema se refiere a ellos de una manera intuitiva para la mayoría de las aplicaciones estándar en la teoría de la probabilidad.
Supongamos que usted tiene una probabilidad del espacio $(\Omega,\Sigma,\mu)$ y dos variables aleatorias $f:\Omega\to\mathbb{R}$$g:\Omega\to\mathbb{R}$. Que $g$ sólo depende de $f$ puede ser interpretado como decir que conoce el valor de $g$ cada vez que se conoce el valor de $f$. Esto significa que usted puede encontrar una función $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $g(\omega)=h(f(\omega))$. En otras palabras, $g=h\circ f$. Ahora el Doob-Dynkin emma dice que los siguientes son equivalentes:
La mayoría de los que ocurren naturalmente $\sigma$-álgebras son de la forma $\{f^{-1}(B):B\textrm{ is a Borel set}\}$ para algunos variable aleatoria $f$. Esto es equivalente a la $\sigma$-álgebra ser countably generado.
Dice que sabe que los valores de$X_1+\cdots+X_n$$X_1^2+\cdots+X_n^2$. A continuación, puede encontrar los valores de $\bar X = (X_1+\cdots+X_n)/n$$S^2 = ((X_1-\bar X)^2+\cdots+(X_n-\bar X)^2)/(n-1)$, y del mismo modo, si se conocen los valores de los últimos dos cantidades, entonces usted puede encontrar los dos primeros. Así son en un sentido equivalente. Diciendo que son equivalentes es lo mismo que decir que generan el mismo sigma-álgebra. Por lo tanto acondicionado en ellos es el mismo acondicionado en el sigma-álgebra que ellos generan. Los detalles de la elección de cual de estos pares no importa, usted habla de acondicionamiento en una sigma-álgebra.
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