Determina la matriz unitaria al cuadrado de un tamaño determinado.

Question

Tengo un $2 \times 2$ matriz $A$ que es diagonalizable con dos reales, positivas autovalores. Se me pide que encuentre todas las raíces cuadradas de Un

A es diagonalizable. Por lo tanto, $A = SDS^{-1}$ donde $D$ es diagonal y tiene entradas como la de los dos autovalores. Por lo tanto, obviamente, hay al menos 4 de la raíz cuadrada de las matrices: $SD'S^{-1}$ donde $D'$ $\pm \sqrt{\text{eigenvalue}}$ en cada entrada.

Pero ahora quiero demostrar que estos son los únicos. Estos son, obviamente, la única diagonalizable raíces cuadradas. Pero, ¿cómo puedo demostrar que no hay ningún otro raíz cuadrada de las matrices que no son en sí diagonalizable.

En otras palabras, ¿cómo puedo probar que si a es como la de arriba, a continuación, sqrt(A) debe ser diagonalizable?

Answer 1

Probar el contrapositivo. Si $B$ no es diagonalizable, es de la forma $SJS^{-1}$ donde $J$ es un tamaño de 2 bloque de Jordan. Así que si $B$ también tiene autovalores positivos, $B^2=SJ^2S^{-1}$ no va a ser diagonalizable.

Sin embargo, el resto de la prueba no es totalmente válida. En particular, la matriz de identidad satisfaga todas sus condiciones, pero tiene un montón más de 4 diagonalizable raíces cuadradas...

EDIT: Si $A$ tiene distintos valores propios, a continuación, $\sqrt{A}$ lo hace así, lo que significa que está garantizado para ser diagonalizable.

Answer 2

Dejar que los dos autovalores de a $A$ $a,b>0$ y deje $B$ ser una raíz cuadrada de $A$.

Si $a\ne b$, el polinomio $(x^2-a)(x^2-b)$ aniquila $B$; si $a=b$, el polinomio $x^2-a$ aniquila $B$. En cualquier caso, $B$ es aniquilado por un polinomio con distintas raíces reales (debido a $a,b>0$). Por lo tanto el polinomio mínimo de a $B$ tiene distintas raíces reales y $B$ es diagonalisable $\mathbb R$.