Calcular el límite de $\lim_{n\to\infty}{(\sqrt[n]{e}-\frac{2}{n})^n}$

Question

¿Cómo puedo calcular este límite de la secuencia? $$\lim_{n\to\infty}{(\sqrt[n]{e}-\frac{2}{n})^n}$$

Answer 1

Esto depende de las herramientas que amo, pero si usted es consciente de que $$\sqrt[n]{\mathrm e}=\mathrm e^{1/n}=1+1/n+o(1/n),$$ then you can write that $$(\sqrt[n]{\mathrm e}-2/n)^n=(1-1/n+o(1/n))^n\to \mathrm e^{-1}.$$

Answer 2

Con la sustitución de $x=1/t$ hemos $$ \lim_{x\to\infty}(e^{1/x}-2/x)^x= \lim_{t\to0^+}(e^t-2t)^{1/t} $$ El límite del logaritmo de la expresión $(e^t-2t)^{1/t}$ es $$ \lim_{t\to0^+}\frac{\log(e^t-2t)}{t} \desbordado{\mathrm{(H)}}{=} \lim_{t\to0^+}\frac{e^t-2}{e^t-2t}=-1 $$ Sin l'Hôpital, cabe recordar que la $\log(e^t-2t)=\log(1-t+o(t))=-t+o(t)$.

Answer 3

Otra manera de ir es: $$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\log\left(\sqrt[n]e-\frac2n\right)^n & =\lim_{n\to\infty}{\log\left(e^{1/n}-\frac2n\right)\over\frac1n}\\ & = \lim_{n\to\infty}{\left(-\frac{1}{n^2}e^{1/n}+\frac{2}{n^2}\right)/\left(e^{1/n}-\frac{2}{n}\right)\over -\frac{1}{n^2}} \end{align}$$,

por L'Hospital de la Regla. Ahora multiplique el numerador y el denominador por $-n^2$, para obtener $${e^{1/n}-2\over e^{1/n}-\frac2n}$$ y debe ser bastante fácil.