Dada una $3 \times 3$ matriz, matrices unitarias de multiplicación a la izquierda o a la derecha (por ejemplo, el reflector del hogar) para introducir ceros.

Question

Dada una $3 \times 3$ matriz $A$ , queremos multiplicar por la izquierda o por la derecha matrices unitarias para introducir elementos nulos en formas específicas como las siguientes,

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{x}}&{\text{x}}&0 \\ {\text{x}}&0&{\text{x}} \\ 0&{\text{x}}&{\text{x}} \end{array}} \right)$ y $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{x}}&{\text{x}}&0 \\ {\text{0}}&0&{\text{x}} \\ 0&{\text{0}}&{\text{x}} \end{array}} \right)$

donde $\text x$ representa un elemento no nulo.

Mi intento :

Para la primera forma,

En primer lugar, aplique un reflector para la primera columna de las filas 2 y 3, pero mantenga la primera fila sin cambios, entonces tenemos $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{x}}&{\text{x}}&{\text{x}} \\ {\text{x}}&{\text{x}}&{\text{x}} \\ {\text{0}}&{\text{x}}&{\text{x}} \end{array}} \right)$ , entonces, de manera similar, el accionista en la última columna de las dos primeras filas, pero mantiene la tercera fila sin cambios, y tenemos $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{x}}&{\text{x}}&0 \\ {\text{x}}&{\text{x}}&{\text{x}} \\ {\text{0}}&{\text{x}}&{\text{x}} \end{array}} \right)$ . No consigo averiguar cómo hacer que el elemento central sea cero conservando los ceros introducidos anteriormente.

Para la segunda forma,

Primero aplique los reflectores de la casa para hacerla triangular superior $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{x}}&{\text{x}}&{\text{x}} \\ {\text{0}}&{\text{x}}&{\text{x}} \\ {\text{0}}&{\text{0}}&{\text{x}} \end{array}} \right)$ y luego aplicar a la primera fila de las dos últimas columnas para tener $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{x}}&{\text{x}}&{\text{0}} \\ {\text{0}}&{\text{x}}&{\text{x}} \\ {\text{0}}&{\text{x}}&{\text{x}} \end{array}} \right)$ y luego el dueño de casa de nuevo para hacerlo $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{x}}&{\text{x}}&{\text{0}} \\ {\text{0}}&{\text{x}}&{\text{x}} \\ {\text{0}}&{\text{0}}&{\text{x}} \end{array}} \right)$ . Tengo el mismo problema para hacer el elemento central cero.

Answer 1

Para la segunda matriz

Dada una matriz $A$ con rango completo (invertible). Sabemos que las matrices unitarias también son de rango completo, y la multiplicación con matrices de rango completo no cambia el rango: $$\text{rank}(BA)=\text{rank}(AB)=\text{rank}(A)$$

Su segundo esquema matricial no tiene rango completo. Por lo tanto, es imposible obtener este esquema.

Para la primera matriz

Esto me llevó un tiempo entenderlo. Contrariamente a lo que pensaba, es posible realizar esta transformación.

Primero realiza una Rotación o Transformación HH o lo que sea para eliminar la entrada de la parte inferior izquierda, tal y como has hecho: $$AQ^1A=\left( {\begin{array}{ccc} {\text{x}}&{\text{x}}&{\text{x}} \\ {\text{x}}&{\text{x}}&{\text{x}} \\ {\text{0}}&{\text{x}}&{\text{x}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{c|cc} {\text{x}}&{\text{x}}&{\text{x}} \\ {\text{x}}&{\text{x}}&{\text{x}} \\ \hline {\text{0}}&{\text{x}}&{\text{x}} \end{array}} \right)=: \left( {\begin{array}{c|c} A' & B' \\ \hline 0 & D' \end{array}} \right)$$ Entonces escribimos esa matriz en estructura de bloques: $A'^{2×1}, B'^{2×2}, 0^{1×1}, D'^{1×2}$ .

Ahora realizamos una SVD en $B'$ , lo que da como resultado: $$B'=UV^\top$$ con $U,V^{2×2}$ unitario y $=\text{diag}(_1,_2)$ . Esto equivale a: $$U^\top B'V=.$$ Y tiene la forma que queremos conseguir en la parte superior derecha. Así que ahora tenemos que hacer $U^\top$ y $V$ a $3×3$ -matrices y ya está:

$$\tilde{U}=\left( {\begin{array}{c|c} U^\top & 0_{2×1} \\ \hline 0_{1×2} & 1_{1×1} \end{array}} \right) \qquad \tilde{V}=\left( {\begin{array}{c|c} 1_{1×1} & 0_{1×2} \\ \hline 0_{2×1} & V \end{array}} \right)$$ (Estas matrices también son unitarias).
Usando esas matrices, se sostiene $$\tilde{U}Q^1A\tilde{V} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\text{x}}&_1&0 \\ {\text{x}}&0&_2 \\ 0&{\text{x}}&{\text{x}} \end{array}} \right)$$