Demostrar que $(1-x_{1})\cdots(1-x_{k}) \leq (1-\frac{1}{k})^{k}$

Question

Deje $x_{1},x_{2}, \ldots , x_{k}$ ser números reales positivos tales que

$$x_{1}+ x_{2}+ \cdots +x_{k}\geq1$$ $$0\leq x_{i}\leq1\text{ for }i \in \{1,2,\ldots ,k\}$$

Quiero demostrar la siguiente desigualdad $$(1-x_{1})(1-x_{2})\cdots(1-x_{k}) \leq \left(1-\frac{1}{k}\right)^{k} \leq \frac{1}{e}$$ para cualquier $k \geq 1$. ¿Cuál es el mejor camino a seguir en la demostración de esto?

Answer 1

Vamos $x_i=1-y_i$ ($i\in\mathbb{N}\cap[1,k]$)
$$x_{1}+ x_{2}+ \cdots +x_{k}\geq1\implies \sum\limits_{i} y_i\leq k-1\implies AM=\frac{1}{k}\sum\limits_{i} y_i\leq \frac{k-1}{k}$$ $$GM=\sqrt[k]{\prod_i (1-x_i)}=\sqrt[k]{\prod_i y_i}$$ El uso de la AM-GM de la desigualdad, obtenemos: $$GM\leq AM\implies \prod_i (1-x_i)\leq \left(\frac{k-1}{k}\right)^k=\left(1-\frac{1}{k}\right)^k$$

Answer 2

Deje $S=\sum_i x_k$, el AM-GM desigualdad da $$ \prod_i(1-x_i)\leq[(k-S)/k]^k\leq[(k-1)/k]^k=[1-1/k]^k. $$ Esto le da a la desigualdad en el título. Para la segunda desigualdad, algunos consejos son: el uso de la desigualdad de Bernoulli para demostrar que la secuencia de $\{(1-1/k)^k\}_k$ es cada vez mayor. La secuencia es también limitada desde arriba (por ejemplo,$1$) y, por lo tanto, converge a $\lim_{k\to\infty}(1+(-1)/k)^k=e^{-1}=1/e$.

Answer 3

Usted puede hacer esto usando el AM-GM de la desigualdad:

Si $y_1,\dots,y_n\ge 0$, luego $$ \frac{y_1+\dots+y_n}{n}\ge \sqrt[n]{y_1\dots y_n} $$

La aplicación de este con $y_i=1-x_i$, tenemos: \begin{align} (1-x_1)\dots(1-x_k)&\le\left(\frac{(1-x_1)+\dots+(1-x_k)}{k}\right)^k\\ &=\left(\frac{k-(x_1+\dots+x_k)}{k}\right)^k\\ &\le\left(\frac{k-1}{k}\right)^k\\ &=\left(1-\frac1k\right)^k<\frac1e \end{align}