Hartshorne IV.6.4 - no hay curva de grado 9 y género 11 en P^3

Question

Estoy trabajando en este ejercicio en Hartshorne: no hay curvas de grado 9 y género 11 $\mathbb{P}^3$.

La sugerencia le dice a show que iba a tener que mentir en un quadric surface. Esta es la parte estoy teniendo problemas con la. Si $X$ es la curva, entonces hay una secuencia exacta

$$0 \to H^0(\mathcal{I}_X(2)) \to H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(2)) \to H^0(\mathcal{O}_X(2)) \to \ldots$$

y quiero $h^0(\mathcal{I}_X(2))$ a ser distinto de cero, lo que sería cierto si $h^0(\mathcal{O}_X(2)) < h^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(2)) = 10$. Si $D = \mathcal{O}_X(2)$, luego de Riemann-Roch dice

$$h^0(D) - h^0(K - D) = \deg D + 1 - g = 2 \cdot 9 + 1 - 11 = 8$$

así que si $h^0(K - D) = 0$, entonces todo está bien. Pero si $h^0(K - D) \ne 0$, entonces sólo puedo pensar en Clifford del teorema, que dice

$$h^0(D) - 1 \le \frac{1}{2} \deg D = 9$$

con la igualdad iff $D = 0, K$ o $X$ es hyperelliptic y $D$ es un múltiplo de la $g^1_2$. Si la desigualdad es estricta, a continuación, de nuevo, todo es bueno, así que esto solo lo deja en el caso de $X$ hyperelliptic, $D = 9 \cdot g^1_2$. ¿Por qué es esto imposible? Hay un simple argumento en total?

Answer 1

En primer lugar, se demuestra que cualquier curva de $X$ deben descansar sobre una superficie cuadrática. Considere la secuencia$$0 \to \mathcal{I}_X(2) \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(2) \to \mathcal{O}_X(2) \to 0.$$We have $\texto{dim}\,H^0(\mathbb{P}^3, \mathcal{S}_{\mathbb{P}^3}(2)) = 10$, so if $\texto{dim}\,H^0(X, \mathcal{S}_X(2)) < 10$, then $\texto{dim}\,H^0(\mathbb{P}^3, \mathcal{I}_X(2)) \ge 1$. Thus, $X$ lies on a quadratic surface. $\mathcal{S}_X(2)$ corresponds to degree $2$ hypersurfaces, which will intersect the curve $X$ in $9(2) = 18$ points, so $\texto{grados}\,|\mathcal{S}_X(2)| = 18$. For $\mathcal{O}_X(2)$ nonspecial, Riemann-Roch gives$$\text{dim}\,H^0(X, \mathcal{O}_X(2)) = 18 + 1 - 11 = 9,$$so $X$ will lie on a quadratic hypersurface. For $\mathcal{O}_X(2)$ special, and effective divisor $D$ in the linear system given by $\mathcal{O}_X(2)$ must have by Clifford's theorem$$\dim|D| \le {1\over2}\text{deg}\,D = 9,$$so again $X$ se acostará sobre una cuadrática hipersuperficie.

Ahora, supongamos $X$ se encuentra en un nonsingular cuadrática hipersuperficie de tipo $(a, b)$. A continuación, mediante la Observación 6.4.1, $d = 9 = a + b$$g = 11 = ab - a - b + 1$. Sustituyendo, $11 = a(9 - a) - a - (9 - a) + 1$ o $0 = a^2 - 9a + 19$, que no tiene ningún número entero solución. Por lo tanto, $X$ no puede mentir en un nonsingular cuadrática hipersuperficie.

$X$ no puede mentir en el producto de dos hyperplanes, desde luego ser una línea y han género $0$ o en un avión, y luego se contradice$$g = {1\over2}(d - 1)(d - 2) = 28 \neq 11.$$The only case left is $X$ lying on a quadratic cone, but then Remark 6.4.1 again gives$$d = 2a + 1 \implies a = 4,$$and then$$g = a^2 - a \implies g = 16 - 4 = 12 \neq 11.$$Thus, no curve exist in $\mathbb{P}^3$ of degree $9$ and genus $11$.