Descripciones de estructuras (GAP) en semigrupos

Question

Como puede verse fácilmente en el manual de GAP:

37.6 Descripciones de estructuras

StructureDescription( G ) A

El método para Descripción de la estructura expone la estructura del grupo dado en cierta medida utilizando la estrategia que se describe a continuación. La idea es devolver una cadena, posiblemente corta, que dé una idea de la estructura del grupo considerado y que pueda ser calculada con razonable rapidez.

Se puede buscar en el sitio para ver que este código se ha utilizado en algunos problemas de teoría de grupos computacional, por ejemplo aquí .

A.H.Clifford da un teorema constructivo primordial en su libro, The Algebraic Theory of Semigroups como sigue:

Teorema 1.9. Dejemos que $a$ sea un elemento de un semigrupo $S$ y que $\langle a\rangle$ sea el subsemigrupo cíclico de $S$ generado por $a$ . Si $\langle a\rangle$ es infinito, todos los poderes de $a$ son disticas. Si $\langle a\rangle$ es finito, existen dos enteros positivos, el índice $r$ y el periodo $m$ de $a$ , de tal manera que $a^{m+r}=a^r$ y el orden de $\langle a\rangle$ ser $m+r-1$ . El conjunto $$K_a=\{a^r,a^{r+1},...,a^{m+r-1}\}$$ es un subgrupo cíclico de $S$ de orden $m$ .

Mi pregunta: Vemos que para cualquier semigrupo $S$ y $a\in S$ de orden finito, tenemos una estructura como $K_a$ que es un grupo . ¿Cómo se puede investigar qué grupo(s) finito(s) tiene(n) la misma estructura con un determinado $K_a$ . Parece que la causa de las palabras existentes en $K_a$ es tan difícil, tal vez imposible, utilizar el código anterior. ¿Hay algún código que no me falte? Cualquier sugerencia es bienvenida y se agradece.

Answer 1

No entiendo la pregunta. ¿Está usted preguntando:

Si $S$ es un semigrupo y $a$ es un elemento de $S$ con orden finito, entonces qué grupos pueden darse como $K_a$ ?

La respuesta a esta pregunta se da en el teorema que citas: los grupos cíclicos.

Tal vez querías preguntar: ¿qué grupos se dan como subgrupos de semigrupos? Entonces la respuesta es todos los grupos, ya que todo grupo es también un semigrupo.

O tal vez querías decir: en GAP, ¿cómo puedo determinar la "estructura" de un subgrupo máximo de un semigrupo finito? Aquí está cómo:

gap> LoadPackage("citrus", false);;
gap> s:=RandomTransformationSemigroup(4,4);
<semigroup with 4 generators>
gap> d:=Filtered(DClasses(s), IsRegularDClass);
[ {Transformation( [ 3, 1, 1, 3 ] )}, {Transformation( [ 3, 3, 4, 1 ] )}, 
  {Transformation( [ 3, 3, 3, 3 ] )} ]
gap> List(d, x-> StructureDescription(GroupHClass(x)));
[ "C2", "C3", "1" ]