Soluciones alternativas para $\cos(x)=-\frac{1}{2}$

Question

Tengo una función de $f(x)=x+2\sin(x)$ y se nos pide encontrar en qué puntos de la gráfica de $f$ tiene tangentes Horizontales.

Cómo vamos a resolver es encontrar donde $f'=0$. Por lo $$f' = 1+ 2\cos x = 0 \implies \cos x = -\frac 12$$ y a partir de ello, determinar el conjunto solución.

Estoy familiarizado con el círculo unidad y la periodicidad de las $\sin,\cos$ funciones así me enteré de que el conjunto solución es $$x \in \left\{(2k+1)\pi \pm \frac{\pi}{3}: k \in \mathbb{Z}\right\}$$

Yo sé que es la forma habitual pero, ¿hay alguna alternativa de solución más simple si es posible a este problema? Especialmente para las personas que no se bien el tema?

Answer 1

$f′(x)=0$ dice usted, donde usted puede esperar para encontrar máximos y mínimos locales (puntos críticos), de la función, que se produce cuando la línea tangente a la curva es horizontal.

Usted encontrado correctamente la derivada $f'(x) = 1 + 2\cos x$, y el establecimiento $f'=0$ has resuelto para estos $x$ bastante bien! De hecho, el conjunto solución es dada, como se encontró, por $$x \in \left\{(2k+1)\pi \pm \frac{\pi}{3}: k \in \mathbb{Z}\right\}$$

De modo que la tangente horizontal de las líneas será dado por $$\left\{f(x): x \in \left\{(2k+1)\pi \pm \frac{\pi}{3}: k \in \mathbb{Z}\right\}\right\}$$

Tomar sólo un máximo local, al $x= \frac {2\pi}{3}$, tenemos la línea tangente dada por $$f\left(\frac {2\pi}3\right) = \frac{2\pi}{3} + \sqrt 3$$

Podemos comparar la curva con uno de sus tangente líneas:

Answer 2

Uno es de 120. Este puede ser encontrado por darse cuenta de que $\cos(30)$$\frac{1}{2}$$\cos(x) = -\cos(x+90)$. Desde $f(x) = \cos(x)$ dispone de un plazo de 360, podemos seguir añadiendo 360 para obtener soluciones. Las soluciones son de la siguiente manera: $\{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3},\frac{10\pi}{3}, \cdots\}$

Answer 3

Usted puede utilizar el bronceado de la mitad del ángulo de la sustitución de $t=\tan \frac{x}{2}$ para obtener

$$ \left. \cos x = -\frac{1}{2} \right\} \frac{1-t^2}{1+t^2} = \left. -\frac{1}{2} \right\} t = \pm \sqrt{3} $$

A continuación, $$x = 2 \tan^{-1} t = \pm 2 \tan^{-1} \sqrt{3} = \pm 2 \frac{\pi}{3}$$

La periodicidad con que se significa que usted puede agregar a $k \pi$ ángulo de a $x$ donde $k=0,1\ldots \infty$

Esto no es una gran aplicación de la tan ángulo mitad método, pero es una forma diferente de obtener el mismo resultado.

Aquí están las reglas de la sustitución de Weierstrass como se le llama a veces:

$$ \begin{align} t & = \tan \frac{x}{2} \\ \sin x & = \frac{2 t}{1+t^2} \\ \cos x & = \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{align} $$