$S/I$ es una extensión integral de $R/R\cap I$

Question

Tengo algunos problemas con la siguiente afirmación: Sea $S, R$ ser anillos. Supongamos que $S$ es una extensión integral de $R$ y $I$ es un ideal en $S$ entonces $S/I$ es una extensión integral de $R/(R\cap I)$ .

Estos son mis pensamientos hasta ahora. Deja que $i$ sean incrustaciones y $\pi$ proyecciones naturales el siguiente diagrama conmuta (¿verdad?) \begin{matrix} R & \overset{\pi _1}{\rightarrow } & R/(I\cap R)\\ i\downarrow & & i\downarrow\\ S& \overset{\pi _2}\rightarrow & S/I \end{matrix} Para cualquier $\overline{s}\in S/I$ existe un polinomio mónico $p(x)\in S[x]$ con $p(s)=0$ , claramente $\pi _1 (p(s))=0$ en $R/(I\cap R)$ y $\pi _1(p(x))$ sigue siendo mónico. Además $\pi _2(i(p(x)))=i(\pi _1(p(x)))$ desde $p(x)$ tiene coeficientes en $R$ .

Siento que uno tiene que demostrar que si $\overline{t}= \overline{s}$ entonces $p(t)\in R$ .

Si $p(t)\in R$ entonces $p(t)-p(s)\in (I\cap R)$ y por lo tanto $t$ también es una raíz de $\pi _1(p(x))\in R/(I\cap R)[x]$ . ¿No es necesario? Cómo se puede argumentar explícitamente.

Answer 1

Dejemos que $\bar{s} \in S/I$ con $s \in S$ . Por hipótesis, $s$ es integral sobre $R$ Por lo tanto, hay $a_i \in R$ tal que $s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s + a_0=0$ . Ahora esta ecuación modulo $I$ se convierte en $\bar{s}^n+\bar{a}_{n-1}\bar{s}^{n-1}+\cdots+\bar{a}_1 \bar{s} + \bar{a}_0=0$ donde vemos los coeficientes $\bar{a}_i$ como elementos del $R$ -Módulo $(R+I)/I$ . Ahora por el tercer teorema de isomorfismo tenemos $(R+I)/I \cong R/(R\cap I)$ y hemos terminado.

Alternativamente y de forma más coherente con su notación, dejemos que $\pi:S \rightarrow S/I$ sea la proyección natural. Para $s \in S$ existe un monico $p(x) \in R[x]$ tal que $p(s)=0$ . Ahora $p(s)$ es un elemento de $S$ y su imagen bajo $\pi$ es $p^{\pi}(\pi(s))=0$ , donde $p^{\pi}$ denota el polinomio mónico que obtenemos de $p(x)$ aplicar $\pi$ a sus coeficientes. Ahora usamos el tercer teorema del isomorfismo para ver que realmente $p^{\pi}(x) \in R/(R\cap I)[x]$ .