Lemma del sistema Delta: prueba de Kunen.

Question

Estoy tratando de entender la prueba del Lemma del Sistema Delta de Kunen (Teoría de Conjuntos: Introducción a las Pruebas de Independencia, Capítulo II, Teorema 1.6). Tengo problemas para entender la última línea:

"Desde $|\alpha_0^{ < k}|<\theta$ hay un $r \subset \alpha_0$ y $B\subset A_2$ con $|B|=\theta$ y $\forall x \in B(x\cap \alpha_0=r)$ De ahí que $B$ forma un $\Delta$ -sistema con raíz $r$ ."

No he entendido toda la frase: ¿Por qué hay tal r y tal B? ¿Y por qué es un sistema Delta? He entendido las partes anteriores de la prueba, pero no entiendo el final :(

Añadiendo más contexto: Queremos construir un $\Delta$ sistema $B\subset A$ tal que $|B|=0$ . En este punto, ya hemos construido un subconjunto $A_2$ de $A$ tal que $|A_2|=\theta$ y $x \cap y\subset\alpha_0 < \theta $ siempre que $x$ y $y$ son miembros distintos de $A_2$ .

PS: A $\Delta$ -el sistema es un conjunto $A$ tal que existe $r$ tal que $x \cap y=r$ siempre que $x$ y $y$ son miembros distintos de $A$ .

Answer 1

En ese punto del argumento sabes que $x\cap y\subseteq \alpha_0$ siempre que $x$ y $y$ son elementos distintos de $\mathscr{A}_2$ . Para cada $x\in\mathscr{A}_2$ sabemos que $|x|<\kappa$ Así que $x\cap\alpha_0\in[\alpha_0]^{<\kappa}$ . Para cada $z\in[\alpha_0]^{<\kappa}$ dejar $\mathscr{A}_2(z)=\{x\in\mathscr{A}_2:x\cap\alpha_0=z\}$ . Entonces $$\mathscr{A}_2=\bigcup_{z\in[\alpha_0]^{<\kappa}}\mathscr{A}_2(z)\;.$$

$|\mathscr{A}_2|=\theta>|\alpha_0^{<\kappa}|$ y $\theta$ es regular, por lo que $\theta$ no es la unión de $|\alpha_0^{<\kappa}|$ conjuntos adecuadamente más pequeños; por lo tanto, debe haber algún $r\in[\alpha_0]^{<\kappa}$ tal que $|\mathscr{A}_2(r)|=\theta$ .

Ahora toma $\mathscr{B}=\mathscr{A}_2(r)$ . Para todos los $x\in\mathscr{B}$ tenemos $x\cap\alpha_0=r$ y $\{x\setminus\alpha_0:x\in\mathscr{B}\}$ es una familia disjunta por pares mediante la construcción de $\mathscr{A}_2$ Así que $\mathscr{B}$ es un $\Delta$ -sistema con raíz $r$ .