Posibles Duplicados:
En tipo de funciones linealesEs un ejercicio interesante para mostrar que $\operatorname{Gal}(\mathbb R ~\colon \mathbb Q)$ es trivial. La única solución que conozco se basa en el hecho de que el automorphism es el fin-la conservación, la que a su vez depende del hecho de que $\theta(xy)=\theta(x)\theta(y)$$\theta \in \operatorname{Aut} \mathbb R$.
Ahora, una función de $L:\mathbb R \to \mathbb R$ sólo con la propiedad de que la $L(x+y)=L(x)+L(y)$ puede ser demostrado preservar la multiplicación en los racionales. Y, he tenido éxito en su intento de ampliar este hecho a los reales. Esto podría ser debido a una función de este tipo podría ser discontinua, un ejemplo de que también me han fracasado en la construcción, es un mal día).
Mi pregunta:
Me puede dar un ejemplo de una función discontinua $L:\mathbb R \to \mathbb R$ con la propiedad de que $L(x+y)=L(x)+L(y)$$L|_{\mathbb Q}= \text{identity}$?
Una idea: tal vez se podría considerar una función que preserva el orden en los racionales, pero invierte en irrationals.
Respuesta
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tooshel
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Esto es imposible de hacer en ZF solo, pero posible con una base de Hamel para $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$ espacio vectorial. Por tanto, no se "explícito" ejemplo se puede esperar. Completa $\{1\}$ a una base de Hamel $B$, vamos a $x\in B\setminus\{1\}$, y deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser la única función lineal tal que $f(x)=0$ $f(b)=b$ todos los $b\in B\setminus\{x\}$; en particular, $f(1)=1$ implica que el $f$ es la identidad en los racionales. Debido a $x$ puede ser aproximada por racionales (por no mencionar racional múltiplos de otros elementos de $B$), $f$ no es continua en a $x$. De hecho, $f$ no es continua en cualquier lugar.
