El residuo de a $z=\infty$

Question

Estoy un poco confundido en cuando utilizar el cálculo de un residuo en $z=\infty$ a calcular una integral de una función.

Aquí está el ejemplo de mi libro usos: En la orientación positiva círculo de $|z-2|=1$, la integral de $$\frac{5z-2}{z(z-1)}$$ yields two residues, which give a value of $10\pi i$ de la integral, el uso de los Residuos de Cauchy Teorema. Tengo que bajar.

El libro más tarde, calcula el residuo en el infinito, dando la misma respuesta... - de un residuo de cálculo!

Me parece que no puede encontrar lo que me falta aquí... ¿por Qué es que cuando se considera esta uno obligado, $2 \lt |z-2|\lt\infty$, podemos utilizar el residuo en el infinito para encontrar el valor de la integral... sin embargo, al mismo tiempo calcular un residuo en tres distintos límites en el uso de la Integral de Cauchy Teorema y encontrar el mismo valor integral?

Gracias!

Answer 1

La respuesta a tu pregunta principal

Cuando se puede utilizar el residuo de a $\infty$, para calcular el valor de una integral de la $\int f$ ?

está dada básicamente por el siguiente resultado.

Si $f$ es un holomorphic de la función en $\mathbb{C}$, a excepción de singularidades aisladas en $a_1, a_2, \dots , a_n$, luego $$\operatorname{Res}{(f; \infty)} = -\sum_{k = 1}^{n} \operatorname{Res}{(f; a_k)} $$

fueron el residuo en el infinito se define como en el artículo de la wikipedia. Ahora, a partir de Cauchy del residuo teorema se sigue que

$$\operatorname{Res}{(f; \infty)} = -\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} f(z) \, dz $$

donde se puede tomar $\gamma$ a ser un círculo $|z| = R$ donde $R$ es lo suficientemente grande como para que todas las singularidades $a_k$ están contenidas en el interior del círculo. Por supuesto, usted puede utilizar las versiones más sofisticadas de Cauchy de la integral el teorema de cambio de la curva de $\gamma$, pero esto es suficiente para la simplicidad.

A continuación, la última fórmula le da una forma de calcular un complejo integral sólo mediante el cálculo de los residuos en el infinito de la función, en lugar de computación de todo el "finito" residuos.

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Ahora, para responder a su segunda pregunta de por qué este es el caso, tal vez un dibujo de una prueba de este resultado va a ser suficiente.

Así que vamos a $\displaystyle{F(z) := -z^{-2}f(z^{-1})}$, entonces a partir de la $f(z)$ es holomorphic para $|z| > R$ para algunos lo suficientemente grande como $R$, podemos ver que $F(z)$ es holomorphic para $|z^{-1}| > R$, o lo que es equivalente, para $0 < |z| < \frac{1}{R} $. Por lo tanto $F$ tiene una singularidad aislada en el origen, y luego por la definición del residuo al infinito tenemos

$$ \operatorname{Res}{(f, \infty)} := \operatorname{Res}{(F; 0)} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{|w| = \frac{1}{R}} F(w) \, dw = \frac{1}{2 \pi i} \int_{|w| = \frac{1}{R}} -\frac{f(w^{-1})}{w^2} \, dw $$

Luego, al hacer la sustitución de $z = \frac{1}{w}$ tenemos

$$ \frac{1}{2 \pi i} \int_{|w| = \frac{1}{R}} -\frac{f(w^{-1})}{w^2} \, dw = \mathbf{\color{red}{-}} \frac{1}{2 \pi i} \int_{|z| = R} \, f(z) dz $$

donde el último signo negativo proviene del hecho de que el nuevo círculo de $|z| = R$ que se obtiene después de la sustitución tiene su orientación invertida. Y esta última igualdad es precisamente lo que queríamos demostrar.

Nota

Este resultado es el ejercicio 12 de la sección V. 2 en Conway libro de Funciones de Una Variable Compleja I (página 122), o también aparece en el ejercicio 6 de la sección 13.1 de Reinhold Remmert el libro de Teoría de Funciones Complejas (página 387), en caso de que usted quiera algunas referencias.