¿Cómo puedo informalmente probar esta usando el teorema de Van Kampen?

Question

Deje $X$ ser el espacio obtenido a partir de dos tori $S^1\times S^1$ mediante la identificación de un círculo de $S^1\times\{x_0\}$ en un toro con el correspondiente círculo de $S^1\times\{x_0\}$ en el otro. Calcular el $\pi_1(X)$.

Bueno, mi profesor sólo explica lo que van-Kampen es el teorema de sobre (no en detalle) y se la entregó a una clase de un ejercicio y que la va a poner esto en el examen de mañana.

Así que.. soy malo en cosas informales.. ¿Cómo puedo mostrar esto? Podría alguien por favor ayuda..?

Creo que el problema está pidiendo para el cálculo de este

Donde debo cortar?

Answer 1

Deje $\alpha_1$ $\beta_1$ ser bucles en $(T^2)_1$ que generan $\pi_1((T^2)_1)$ $\alpha_2$ $\beta_2$ la correspondiente bucles en $(T^2)_2$. El espacio de $X$ es lo que tenemos cuando se nos pegue la tori juntos solos $\alpha_1$$\alpha_2$.

Deje $U_1\subset X$ ser un pequeño barrio de $(T^2)_1$$X$, y del mismo modo vamos a $U_2\subset X$ ser un pequeño barrio de $(T^2)_2$$X$. La intersección $U_1\cap U_2$ es un pequeño barrio de $\alpha_1=\alpha_2$, por lo que, en particular, tiene grupo fundamental de la cual es generada por estos elementos. Podemos concluir, a partir de Van-Kampen del teorema que $$\pi_1(X)=((\mathbb{Z}^2\ast\mathbb{Z}^2)_{\langle \alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2 \rangle})/\langle\alpha_1=\alpha_2\rangle$$

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Honestamente, la forma más rápida para calcular el grupo fundamental, sin preocuparse de Van-Kampen del teorema, es ver que $X$ es homeomórficos para el espacio de $(S^1\vee S^1)\times S^1$, el producto de un círculo con una cuña de dos círculos (figura de ocho en el espacio). A continuación, podemos utilizar el hecho de que $\pi_1(A\vee B)\cong \pi_1(A)\ast \pi_1(B)$ $\pi_1(A\times B)\cong \pi_1(A)\times\pi_1(B)$ conseguir $\pi_1(X)\cong (\mathbb{Z}\ast\mathbb{Z})\times\mathbb{Z}$ - aquí las tres generaters de izquierda a derecha se $\beta_1,\beta_2,\alpha_1(=\alpha_2)$.

Answer 2

Tome $A$ a un toro con el título de los barrios alrededor de la otra toro y $B$ a ser otro toro con pequeños barrios alrededor de la otra toro. $A \cup B$ , entonces es todo el espacio $X$ $A \cap B$ deformación se retrae en un círculo.

Por lo $\pi_1(X) \cong \pi_1(A) \star \pi_1(B)/\langle i_A^{-1}, i_B \rangle$ que es isomorfo a $\Bbb Z^2 \star \Bbb Z^2$ con la identificación de $(1, 0) \sim (1, 0)$. El grupo fundamental entonces es $\langle a, b, c, d |[a, b] = [c, d] = ac^{-1} = 1 \rangle$.

Answer 3

Deje $U_1, U_2$ ser el tori, y, a continuación, $U_1\cap U_2$ es un círculo. Recordemos que $\pi_1(U_i)=\mathbb Z^2$$\pi_1(S^1)=\mathbb Z$.

Por VKT, el grupo fundamental de la es $\mathbb Z^2*\mathbb Z^2/\sim$ donde $\sim$ identifica a $(1, 0)$ en el primer $\mathbb Z^2$ $(1, 0)$ en el otro. Así que deberíamos $\langle a, b, c, d\mid[a, b]=[c, d]=ac^{-1}=1\rangle=\langle a, b, d \mid [a, b]=[a, d]=1\rangle$.