Tensoring con la inducción de la representación

Question

En J. Humphreys libro "las Representaciones de Semisimple Álgebras de Lie en el PDE de la Categoría O", Teorema 3.6, un Tensor Identidad es citado:

$$(U(\mathfrak{g}) \otimes _{U(\mathfrak{b})} L) \otimes M\simeq U(\mathfrak{g}) \otimes _{U(\mathfrak{b})} (L \otimes M)$$

donde $L$ $U(\mathfrak{b})$- módulo de e $M$ $U(\mathfrak{g})$- módulo.

Mientras que este isomorfismo, parece claro que, en $k$-módulo de isomorfismo, no parece ser un $U(\mathfrak{g})$-módulo homomorphism.

Al parecer, un elemento $x\in \mathfrak{g}$ deben actuar en el módulo de la izquierda $$x\cdot (y\otimes a \otimes b) = xy\otimes a \otimes b + y\otimes a \otimes xb$$ mientras que actúa sobre el derecho por $$x\cdot (y\otimes a \otimes b) = xy\otimes a \otimes b$$

Estoy malentendido sometihng?

Answer 1

Deje $\Gamma$ ser un sub-álgebra de Hopf de la álgebra de Hopf $\Lambda$. Deje $M$ $\Lambda$- módulo de e $N$ $\Gamma$- módulo. Entonces $$\Lambda \otimes _\Gamma (N \otimes M|_\Gamma) \cong (\Lambda \otimes_\Gamma N) \otimes M.$$ El isomorfismo es dada por $$\lambda \otimes_\Gamma (n\otimes m) \mapsto \sum (\lambda_{(1)} \otimes _\Gamma n) \otimes \lambda_{(2)} m.$$

Estoy usando Sweedler la notación aquí: $\Delta(\lambda) = \sum \lambda_{(1)} \otimes \lambda_{(2)}$ donde $\Delta$ es el comultiplication.

Tenga en cuenta que esto no está de acuerdo con Jyrki del mapa en el caso del grupo, para, a continuación, $\Delta(g)=g\otimes g$ $g$ un elemento de grupo.

En su caso, $\Delta(x) = x\otimes 1 + 1 \otimes x$$x \in \mathfrak{g}$. Usted puede utilizar para obtener una expresión explícita para el isomorfismo, por ejemplo, se envía $$x \otimes (n \otimes m) \mapsto (x\otimes m) \otimes n + (1\otimes n) \otimes xm$$ para $x \in \mathfrak{g}$.

A la inversa mapa está dada por $$(\lambda \otimes_\Gamma n)\otimes m \mapsto \sum \lambda_{(1)} \otimes_\Gamma (n \otimes S(\lambda_{(2)}) m)$$ donde $S$ es la antípoda de $\Lambda$ (en su caso, $S$ es el antihomomorphism definido por $S(x)=-x$$x \in \mathfrak{g}$).

Answer 2

No una respuesta. Explicar por qué no deberíamos esperar que los obvios $k$-lineal de la asignación de trabajo. Esperemos que esto lleva a la OP a alguien para cavar la correcta isomorfismo.

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El análogo resultado en el nivel de grupos finitos es la siguiente. Si $H\le G$, $L$ es una $kH$-módulo, y $M$ $kG$- módulo, entonces no es un isomorfismo de $kG$-módulos $$f:kG\otimes_{kH}(L\otimes M)\simeq (kG\otimes_{kH L})\otimes M$$ dado en el nivel de primaria tensores por la receta $$x\otimes (\ell\otimes m)\mapsto (x\otimes \ell)\otimes (xm)$$ donde $x\in G$, $\ell\in L$ y $m\in M$. Esta es una buena definición de mapa, porque para todos los $h\in H$ hemos $$(xh)\otimes(\ell\otimes m)\mapsto (xh\otimes\ell)\otimes (xhm),$$ y también $$x\otimes (h\ell\otimes hm)\mapsto (x\otimes h\ell)\otimes (xhm)=(xh\otimes\ell)\otimes (xhm).$$ Esto es absolutamente necesario, ya que en el rango que se tiene (el primer producto tensor es de más de $kH$) $$(xh)\otimes(\ell\otimes m)=x\otimes h(\ell\otimes m)=x\otimes(h\ell\otimes hm).$$

Observar que el mapa resultante es un isomorfismo de $kG$-módulos como para todos los $g\in G$ $$\begin{aligned} f(g\cdot(x\otimes(\ell\otimes m)))&=f(gx\otimes(\ell\otimes m))\\ &=(gx\otimes \ell)\otimes gxm=g\cdot((x\otimes\ell)\otimes m))\\ &=g\cdot f(x\otimes(\ell\otimes m)) \end{aligned}$$ por la definición de $f$ y la acción de la $G$ en la inducida por el módulo, así como el producto tensor.

El tensor de la identidad que desea reflejar esto de alguna manera, y el uso de algo aparte de los obvios $k$-lineal de asignación. La acción de la $U({\mathfrak g})$ sobre el producto tensor de dos módulos utiliza el subproducto. Esto podemos suficientemente prueba (como también se indica) en el nivel de ${\mathfrak g}$. Pero, ¿qué acerca de la $f$?