Encuentra los límites sin L'Hôpital: $\lim_{ x \to 0 }\frac{x-\sin x}{x-\tan x}=? $

Question

Encontrar los límites sin la regla de L'Hôpital $$\lim_{ x \to 0 }\frac{x-\sin x}{x-\tan x}=? $$ Mi intento: $$\lim_{ x \to 0 }\frac{\sin(\pi-x)-\sin x}{\tan(\pi+x)-\tan x}=?\\\lim_{ x \to 0 }\frac{2\sin(\frac{\pi}{2}-x)\cos(\frac{\pi}{2})}{\frac{\sin(\frac{}{2}-x)}{\cos(\pi+x)\cos(x)}}=\lim_{ x \to 0 }\frac{(2\cos x)(-\cos x)(\cos(\frac{\pi}{2}))}{\cos x}=0$$ pero: $$\lim_{ x \to 0 }\frac{x-\sin x}{x-\tan x}=-1/2$$ ¿Dónde está mi error?

Answer 1

Puedes escribir el Sin y el Tan como series exponenciales, y entonces obtienes

$$x-\sin(x)=\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{120}+\frac{x^7}{5040}-\frac{x^9}{362880}+O\left(x^{11}\right )$$

y

$$-\frac12 (x-\tan(x))=\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{15}+\frac{17 x^7}{630}+\frac{31 x^9}{2835}+O\left(x^{11}\right)$$

Si se dividen las dos sumas se obtiene $$ 1-\frac{9 x^2}{20}+\frac{27 x^4}{1400}-\frac{27 x^6}{56000}+\frac{201 x^8}{43120000}+O\left(x^{10}\right)$$ que pasa claramente a 1.

Answer 2

Hay un error de cálculo al principio:

$$\tan (\pi+x)-\tan x=\dfrac{\sin\pi}{\cos(\pi+x)\cos x},\quad \text{not}\quad\dfrac{\sin\bigl(\frac\pi2-x\bigr)}{\cos(\pi+x)\cos x}$$

Pista:

Utilice Fórmula de Taylor a la orden $3$ .