El levantamiento de métricas de Riemann sobre las principales paquetes

Question

Dado un director bundle $\pi:M\rightarrow M/G$, no son naturales mapas $$\pi_{\mathcal{F}}:\mathcal{F}(M)^G\rightarrow\mathcal{F}(M/G)$$ $$\pi_{\mathfrak{X}}:\mathfrak{X}(M)^G\rightarrow\mathfrak{X}(M/G)$$ $$\pi_{\mathcal{R}}:\mathcal{R}(M)^G\rightarrow\mathcal{R}(M/G)$$ de $G$-funciones invariantes ($\mathcal{F}$), campos vectoriales ($\mathfrak{X}$) y métricas de Riemann ( $\mathcal{R}$ ) $M$ a los objetos correspondientes en la base del espacio de $M/G$.

El pull-back mapa de $\pi^*:\mathcal{F}(M/G)\rightarrow\mathcal{F}(M)^G$ $\pi_{\mathcal{F}}$ son mutua recíproca. También, la fijación de una sección de $s:M/G\rightarrow M$$\pi$, yo sé cómo construir una sección de $\pi^*_s:\mathfrak{X}(M/G)\rightarrow\mathfrak{X}(M)^G$$\pi_{\mathfrak{X}}$.

Mi pregunta es:

¿Cómo se puede construir secciones de $\pi_{\mathcal{R}}$?

Dada una sección de $s$, cualquier punto de $M$ es de la forma $\psi_g(s(\pi(x)))$ algunos $g\in G$ $x\in M$ (aquí se $\psi_g$ es el diffeo en $M$ definido por la acción de $g$). De $s$ tenemos una conexión en $M$ horizontal de los espacios $$H_{\psi_g(s(\pi(x))}=d_{\pi(x)}(\psi_g\circ s)(T_{\pi(x)}(M/G)).$$ This is sufficient to construct the pull-back for vector fields, because a vector field on $M/G$ is lifted to a horizontal vector field on $M$, which is then projected back by $\pi_\mathfrak{X}$ para el vector original de campo.

Para métricas de Riemann parece que algo más es necesario debido a que el levantamiento de una métrica en $M/G$ nos dice cómo la métrica en la $M$ se ve como cuando se limita a horizontal espacios, pero se necesita más que eso:

¿Cómo es la métrica definida para los no-horizontal de los vectores?

Answer 1

1. Estás absolutamente en lo correcto acerca de la $\pi_{\mathcal{F}} : \mathcal{F}(M)^G \to \mathcal{F}(M/G)$ $\pi^\ast : \mathcal{F}(M/G) \to \mathcal{F}(M)^G$ ser recíproca.
2. Una mejor manera de encontrar una sección de $\pi_{\mathfrak{X}} : \mathfrak{X}(M)^G \to \mathfrak{X}(M/G)$ es a través de un principal de conexión. Recordar que en el Ehresmann imagen, un director de escuela, para la conexión de $M \to M/G$ $G$- equivariant paquete endomorfismo $\Pi : TM \to TM$ tal que $\Pi^2 = \Pi$ y $$ \operatorname{im}(\Pi) = VM := \ker(d\pi : TM \T(M/G)); $$ en otras palabras, es un $G$-equivariant proyección sobre la vertical subbundle $VM$$TM$. Entonces, dado un principal de conexión a $\Pi$ natural, de las map $\pi_{\mathfrak{X}} : \mathfrak{X}(M)^G \to \mathfrak{X}(M/G)$ realmente restringe a un isomorfismo $$ \pi_{\mathfrak{X}} : \mathfrak{X}_H(M)^G \a \mathfrak{X}(M/G), \quad \mathfrak{X}_H(M) := \{\xi \en \mathfrak{X}(M) \mid \Pi\xi = 0\}; $$ si te gusta, usted obtiene un paquete isomorfismo $$ (HM)/G \T(M/G), \quad HM := \ker(\Pi : TM \TM) $$ cubriendo la identidad en $M/G$ donde $HM$ se llama la horizontal subbundle.
3. A la luz de 2., cualquier métrica de Riemann $g_0$ $M/G$ canónicamente levanta a una $G$-invariante de la métrica Euclidiana $g_h$ sobre la horizontal subbundle $HM$$TM$. Para obtener un $G$-invariantes de Riemann métrica en $M$, es decir, un $G$-equivariant métrica Euclidiana en $TM = VM \oplus HM$, sólo debes elegir un $G$-invariante de la métrica Euclidiana $g_v$ $VM$ y el formulario de $g = g_v \oplus g_h$$TM = VM \oplus HM$; una típica forma de hacer esto es utilizar el $G$-equivariant isomorfismo $VM \cong M \times \mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ la Mentira de álgebra de $G$, y, a continuación, deje $g_v$ ser el pullback a $VM$ de la métrica Euclidiana en $M \times \mathfrak{g}$ definido por su favorito bi-invariante de la métrica de Riemann en $G$.

Así que, para responder a su pregunta final, una sección de $\pi_{\mathcal{R}} : \mathcal{R}(M)^G \to \mathcal{R}(M/G)$ es inducida por una elección de director de la conexión de $\Pi$ $M \to M/G$ e de $G$-invariante de la métrica Euclidiana en $VM := \ker(\Pi)$; en particular, una sección de $\pi_{\mathcal{R}}$ es inducida por una elección de un director de una conexión en $M \to M/G$ y un bi-invariante de la métrica de Riemann en $G$.