Deje $\Omega\subseteq \mathbb{R} ^2$ ser abierto. Deje que la función de $f: \mathbb{R} ^2 \mapsto \mathbb{R}$ tienen derivadas parciales $f_x'$ $f'_y$ en cada punto en $\Omega$. Ahora voy a tratar de demostrar que los $f$ es diferenciable en a $\Omega$.
Lo que queremos mostrar es la siguiente: $$ f(x+h,y+k) = f(x,y) + Ah + Bk + \sqrt{h^2+k^2}R(h,k) \qquad \text{(1)} $$ para algunos $(x,y)\in\Omega$, $h$ y $k$ suficientemente pequeña (que $(x+h,y+k)\in\Omega$), algunos de los números reales $A$ $B$ y una función de $R: \mathbb{R} ^2 \mapsto \mathbb{R}$ tal que $R(h,k) \rightarrow 0$ al $(h,k) \rightarrow (0,0)$.
Presentamos las siguientes funciones de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$: $$ \phi(x)=f(x,y+k) $$ $$ \psi(y) = f(x,y). $$ (Aquí viene el paso crucial, es este el error?)
Nos damos cuenta de que, debido a las derivadas parciales de $f$ existen, $\phi$ $\psi$ son diferenciables. Por lo tanto tenemos: $$ \phi(x+h) = \phi(x) + \phi'(x)h + h\rho_1(h) $$ $$ \psi(y+k) = \psi(x) + \psi'(y)k + k\rho_2(k), $$ donde $\rho_1(h)\rightarrow 0$ al $h\rightarrow0$ $\rho_2(k)\rightarrow 0$ al $k\rightarrow0$.
Añadir estos juntos, señalando que $\phi(x) = \psi(y+k)$, se tiene: $$ \phi(x+h) = \psi(x) + \phi'(x)h + h\rho_1(h) + \psi'(y)k + k\rho_2(k), $$ o: $$ f(x+h,y+k) = f(x,y) + f_x'(x,y+k)h + f_y'(x,y)k + h\rho_1(h) + k\rho_2(k). $$ El de arriba es en la forma $(1)$ porque $\lvert\frac{h}{\sqrt{h^2+k^2}}\rvert\leq1$ (y lo mismo para la $k$), podemos establecer la $R(h,k)= \frac{h\rho_1(h) + k\rho_2(k)}{\sqrt{h^2+k^2}}$ y ver que $R(h,k) \rightarrow 0$ al $(h,k) \rightarrow (0,0)$. (¿Correcto?)
Así hemos demostrado que $f$ es diferenciable.
Ahora, sé que esto tiene que estar mal (he visto contraejemplos). Por lo tanto he usado en alguna parte que las derivadas parciales son continuas, o he hecho algún otro tipo de razonamiento de error. Es sólo que yo no lo encuentro, así que estaría muy agradecido si alguien pudiera punto para mí! Gracias!
También sé que $A$ $B$ deben ser las derivadas parciales en $(x,y)$, pero en la definición de la diferenciabilidad (al menos en mi libro de texto) solo dice que ellos deben ser unos pocos reales. Sólo más tarde se ha demostrado que en realidad son las derivadas parciales - que hace que mi prueba parece el más sospechoso.
