Lo más importante es el teorema de la infinita teoría de grupo? Yo diría que es bastante molesto teorema que dice que "los grupos son (muy!) complicado". Hay tres teoremas fundamentales sobre "complicado", y voy a hablar de cada uno de estos a continuación. Sin embargo, las pruebas de los otros dos están basados en la primera, que es la razón por la que yo estoy proponiendo es para la "más importante" teorema. Los tres problemas que voy a hablar se llama Dehn problemas, y que fueron planteados por Dehn en 1914. Él demostró que son solubles de lo fundamental en grupos cerrados, orientable superficies de dimensión dos. El punto clave es que son no solubles en general. (Tenga en cuenta que hay un montón de resultados similares, pero estos tres son los clásicos fundamentales.)
Una referencia general para la mayoría de las cosas de abajo es el papel de los problemas de Decisión para los grupos: estudios y reflexiones por Chuck Miller III. Puedes descargarlo desde su página web. Otra referencia es el libro de Lyndon-Schupp derecho de la Combinatoria del grupo de teoría (esto también proporciona una referencia para mi mención de Dehn prueba de que los problemas son solubles para los grupos fundamentales de cerrado, orientable superficies de dimensión dos).
Las presentaciones. Antes de que podamos estado de los teoremas, necesitamos presentar brevemente las presentaciones. Deje $G$ ser un grupo. A continuación, cada grupo puede ser dada por una presentación, por lo $G=\langle X; R\rangle$. Aquí, $X$ es un conjunto de generadores para $G$ $R$ es un conjunto de ponentes, que indica cómo los generadores de multiplicar. Si $G$ puede ser dada por una presentación tal que $X$ $R$ son tanto finito, a continuación, $G$ se dice que finitely presentable. Por ejemplo, el de Klein-cuatro grupo de $V$ está dado por la siguiente presentación. $$\langle a, b; a^2=1, b^2=1, ab=ba\rangle$$ Therefore, $V$ is finitely presentable (if I recall correctly, this is a worked example at the start of the book Combinatorial group theory by Magnus-Karrass-Solitar (note: not Lyndon-Schupp - same name, different books)). Indeed, every finite group is finitely presentable as one can take $X$ to be all the (non-trivial) elements of $G$ and then take the elements of $R$ to be simply the way that two elements multiply together, so if $g, h, k\in G$ such that $gh=k$ then $ghk^{-1}\in R$. For example, the Klein-four group can be given by the following presentation. $$V\cong\langle a, b, c; ab=c, ab=b, a^2=1, ba=c, b^2=1, bc=1, ca=b, cb=a, c^2=1\rangle$$ Note that there are infinite groups with finite presentations, for example $\langle una;-\rangle$ and $\langle a, b; b=1\rangle$ son dos presentaciones diferentes de la infinita cíclico grupo.
Los algoritmos. No es necesario, pero es posible encontrar este post de Arturo Magidin útil antes de continuar. O tal vez es posible que desee leer después. Se habla de lo que significa para que las cosas sean "decidable", y así sucesivamente.
La palabra problema para grupos. Una de la más natural de las preguntas que uno puede pedir cuando se administra a un grupo a través de un finito (o lo contrario) de la presentación es la siguiente.
"Puedo decidir si dos palabras en los generadores son iguales?"
Es decir, si $G=\langle X; R\rangle$ y $U(X)$, $V(X)$ son palabras sobre $X$, es cierto que $U(X)=_GV(X)$? Equivalentemente, "Es cierto que $U(X)V^{-1}(X)=_G1$?", y así la palabra problema para los grupos de esta pregunta.
Deje $G$ ser un grupo dado por una presentación $\langle X; R\rangle$. Entonces, dada una palabra $W(X)$, es decidable si $W(X)=_G1$?
Resulta que esto es una propiedad intrínseca del grupo, vinculado a las máquinas de Turing. Pero ese no es el teorema quiero decirle a usted acerca de (sólo me permite hablar acerca de los grupos frente a las presentaciones). El teorema de la que quiero hablar es de la siguiente manera.
Posiblemente la más importante teorema (infinito) teoría de grupos.
Teorema (Novikov-Boone) Hay un finitely presentó el grupo de $G$ de manera tal que la palabra problema en $G$ es indecidible.
O de manera más informal, existe un grupo de $G$ de manera tal que es imposible saber si un elemento es trivial o no. Esto fue demostrado en la década de 1950. Y debe volar tu mente!
Tenga en cuenta que la palabra problema es soluble para grupos finitos.
El conjugacy problema para grupos. Deje $G$ ser dada por una presentación de $\langle X;R\rangle$. A continuación, el conjugacy problema para los grupos le pregunta si cuando dados dos elementos $U(X)$ $V(X)$ es decidable si estos elementos son conjugadas, es decir, si existe un tercer elemento $W(X)$ tal que $W^{-1}UW=V$. Tenga en cuenta que el insoluble problema de palabras implica insoluble conjugacy problema. Sin embargo, hay un punto medio.
Teorema (Collins) existe una finitely presentó el grupo de $G$ que ha soluble palabra problema, pero insoluble conjugacy problema.
El problema de isomorfismo de grupos. Deje $\langle X; R\rangle$ $\langle Y; S\rangle$ dos presentaciones. Entonces podemos decidir si se definen isomorfo grupos? Erm, una vez más, no...
Teorema (Adian-Rabin) es indecidible si un número finito de presentación define el trivial grupo.
En realidad, Adian-Rabin el resultado es más profundo. Ellos nos demuestran que "propiedades de Markov de finitely presentado los grupos no son recursivamente reconocible". Esto es en Miller en el papel.
Por Qué Novikov-Boone? Ahora, los tres resultados son impresionantes. Sin embargo, estoy proponiendo la Novikov-Boone resultado como el "más importante" porque uno puede demostrar que los otros resultados de usarlo. Por lo tanto, es el más fundamental de los tres teoremas. Un lugar precioso ejemplo de esto es el papel de Isomorfismo frente a conmensurabilidad para una clase de finitely presentan grupos por Arzhantseva-Lafont-Minasyan, el cual puede ser encontrado aquí. El uso Novikov-Boone para dar a los grupos con el insoluble problema de isomorfismo en un excepcionalmente elegante. La insolubilidad de un montón de otros problemas de decisión para los grupos de seguimiento de Novikov-Boone. Arzhantseva-Lafont-Minasyan del documento se incluyen otros ejemplos, pero se puede derivar el uso de algo elemental significa que es insoluble en general, si dos grupo homomorphisms son los mismos.
¿Qué es lo siguiente? Otra de las razones para la propuesta de este teorema es que encontrar clases de grupos que han soluble palabra problema es más que sólo un juego de la diversión: es una importante fuerza impulsora en la geométrica teoría de grupos. Por ejemplo, Dehn comenzó con cerrado, orientable superficies de dimensión dos. Este fue generalizado a los "pequeños cancelación de la teoría" (Greendlinger, Lyndon, etc.) lo que llevó a "hiperbólico grupos" (Gromov), y todo esto fue motivado por el soluble palabra y conjugacy problemas. Con el tiempo, esta teoría llevó a la Sabia del trabajo en grupos con un "cuasi-convexa de la jerarquía", que ha llevado a la resolución de la prácticamente Haken conjetura por Agol. (Prácticamente la Haken conjetura es un importante ahora-teorema 3-colector de la teoría. Esto implica Geometrisation, que a su vez implica la conjetura de Poincaré, que fue uno de los millenium problemas. Por desgracia, Agol la prueba utiliza la prueba existente de Geometrisation.) Así que empezamos con un problema insoluble, dio algunas condiciones que implican solublility yada-yada-yada millones de dólares de premio!!!!(-ish)
