Él probablemente significaba para el uso de la inducida $2$-norma. La declaración no siempre se cumple si otra norma que se utiliza. E. g. supongamos que la inducida por $\infty$-norma se utiliza, en donde $\|A\|=\max_i\sum_j|a_{ij}|$. A continuación, $\|A^2\|=\|A\|^2$ por cada $n\times n$ fila estocástico de la matriz (a menos $n=1$), pero, obviamente, algunos de fila estocástico matrices no son normales.
La declaración es correcta cuando la inducida $2$norma $\|A\|=\sqrt{\lambda_\max(A^\ast A)}$, se utiliza. La "desagradable cómputo" probablemente significa que para calcular y comparar el $\|A^2\|=\sqrt{\lambda_\max\left((A^2)^\ast A^2\right)}$ $\|A\|^2=\lambda_\max(A^\ast A)$ directamente, y que es realmente desagradable.
Una manera más fácil de demostrar que la afirmación es emplear la descomposición de valor singular. Deje $A=USV^\ast$ ser una descomposición de valor singular, donde los dos valores singulares de a $A$ o $S$$\sigma_1\ge\sigma_2$. Al $\sigma_1=\sigma_2$, nosotros no tenemos nada que probar porque los $A=UV^\ast$ es una matriz unitaria, lo cual es normal. Así, supongamos $\sigma_1>\sigma_2$. Por escalamiento $A$ adecuadamente, también podemos suponer que $\|A\|=1$.
Ahora, de $\|A^2\|=\|A\|^2=1$, obtenemos $\|USV^\ast USV^\ast\|=1$ y a su vez $\|SV^\ast US\|=1$. Deje $x$ ser una unidad singular vector correspondiente a la singular valor $\sigma_1=1$, por lo que el $\|x\|=\|SV^\ast USx\|=1$. La asignación de $x\mapsto SV^\ast USx$ es una función de la composición en forma de $f\circ g\circ f$ donde $f:x\mapsto Sx$ siempre se contrae la norma de un vector unitario $x$ si $x$ es una unidad múltiple de $e_1=(1,0,\ldots,0)^T$, e $g:x\mapsto V^\ast Ux$ preserva la norma de un vector $x$. De ello se desprende que $\|f\circ g\circ f(x)\|=1$ sólo si $x$ $V^\ast Ue_1$ son múltiplos de la unidad de de $e_1$. Por lo tanto $D:=V^\ast U$ es una matriz diagonal (debido a $V^\ast U$ es unitaria $2\times2$). Por lo tanto $A=USV^\ast=U(SD)U^\ast$ es normal.
