Deje $H(t)$ ser estrictamente creciente en función tal que $\lim_{t\to \infty}H(t)=\infty$. Suponiendo que $$\lim_{t\to \infty}\frac{H(t)}{\log t}=1$$ me gustaría probar o refutar que $$\lim_{y\to \infty}\frac{H^{-1}(y)}{\exp(y)}=1$$ No he sido capaz de encontrar un contraejemplo, pero también que no ha sido capaz de demostrar si es cierto! A mi me parece que esto tiene que ser cierto!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
user299698
Puntos
96
Un contraejemplo. Tome $H(t)=\ln(t)+\ln(\ln(t))$ $$\lim_{t\to +\infty}\frac{H(t)}{\ln(t)} =1.$$ Moreover, by letting $y=H(t)$, tenemos que $$\lim_{y\to +\infty}\frac{H^{-1}(y)}{\exp(y)}=\lim_{t\to +\infty}\frac{t}{\exp(H(t))}=\lim_{t\to +\infty}\frac{t}{\exp(\ln(t)+\ln(\ln(t)))}\\=\lim_{t\to +\infty}\frac{t}{t\cdot\ln(t)}=\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{\ln(t)}=0.$$
