¿Existe un número infinito de $\mu$ que satisfacen esto:

Question

Deje que $\Bbb S$ ser el conjunto de números racionales $r$ con la propiedad que $\sqrt{r}$ es racional también, en otras palabras, un número $\frac{a^2}{b^2}$ con números enteros $a,b$ y $b\ne 0$

El ejemplo es $\frac{81}{121}=(\frac{9}{11})^2$

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Mi pregunta es esta: Dado que algunos $x\in\Bbb Z$ hay infinitamente muchos $\mu \in \Bbb S$ para el cual $(x+\mu)\in \Bbb S$ ? Y si es así, ¿hay alguna fórmula general que pueda usar para computar estos?

Estoy usando esta idea para aproximar $\sqrt{x}$ racionalmente y quieren ver si hay una forma fácil de encontrar las soluciones

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En mi investigación, lo mejor que encontré fue a través de este método:

$a=(x-1)^{2^{n-1}}$

$b$ es el $2^n$ El resultado de $a_n=2a_{n-1}+(x-1)a_{n-2}$ - que se puede buscar en la OEIS usando los primeros cinco términos $\big[0,1,2,(x+3),(4x+4)\big]$

Por ejemplo, para $x=3$ usamos http://oeis.org/A002605 de los cuales el $2^3$ El término "rd" es $896$ y $a=2^4=16$

$$\sqrt{3+\bigg(\frac{16}{896}\bigg)^2}=\frac{97}{56}\approx\sqrt3+0.00009$$ Usando el $2^4$ El término para $x=3$ que obtendríamos $a=256, b=2781184$ : $$\sqrt{3+\bigg(\frac{256}{2781184}\bigg)^2}=\sqrt{3+\bigg(\frac{1}{10864}\bigg)^2} = \frac{18817}{10864}\approx\sqrt{3}+(2\times10^{-9})$$

Lo que quiero saber principalmente es si hay otros métodos similares que pueda usar para encontrar otras aproximaciones.

Answer 1

Te estás preguntando, en efecto, si hay infinitas razones $a$ y $b$ con $$x+a^2=b^2.$$ Esto es lo mismo que $$(b-a)(a+b)=x.$$ Siempre y cuando $x\ne0$ puedes hacer $b-a=c$ cualquier racionalidad no cero, y $a+b=x/c$ etc.

Answer 2

Por lo tanto, se le han dado infinitas soluciones en los comentarios: si $x\in \mathbb{Z}$ entonces para cualquier $p/q\in\mathbb{Q}$ , $\mu(x, p/q)=\left(\frac{xq^2-p^2}{2pq}\right)^2\in\mathbb{S}$ y además $$ x + \mu(x,p/q)=x+\left(\frac{xq^2-p^2}{2pq}\right)^2=\frac{4p^2q^2x+(x^2 q^4 - 2p^2 q^2 x + p^4)}{4p^2q^2}=\left(\frac{xq^2+p^2}{2pq}\right)^2=\mu(-x,p/q), $$ que está en $\mathbb{S}$ también. Si además quieres que el elegido $\mu$ para ser pequeño (que no se especifica en la pregunta, pero que está implícito en la recompensa), entonces toma $p/q$ que será aproximadamente $x$ . Por ejemplo, toma $p=qx - 1$ Entonces $$\mu(x,p/q)=\left(\frac{xq^2-(qx - 1)^2}{2(qx - 1)q}\right)^2=\left(\frac{2qx-1}{2(qx-1)q}\right)^2\rightarrow 0$$ como $q\rightarrow\infty$ .