Encontrar todos los enteros positivos $a,b$, de tal manera que $[a,b+2017]=[a+2017,b]$.

Question

Encontrar todos los enteros positivos $a,b$, de tal manera que $$[a,b+2017]=[a+2017,b]$$ donde $[x,y]$ es el mínimo común múltiplo de los números de $x,y$.

Mis intentos :

1) Si $a=b$ par $(a;a)$ es la solución.

2) Deje $a>b$$2017=p$.

$$[a,b+p]=[a+p,b]$$ $$\frac{a(b+p)}{\gcd(a,b+p)}=\frac{(a+p)b}{\gcd(a+p,b)}$$

Si $a>b$ $a(b+p)>(a+p)b$ e lo $\gcd(a,b+p)>\gcd(a+p,b)\ge1$

Answer 1

Porque de simmetry podemos suponer $a\geq b$.

Deje $g=\gcd(a,b)$ $a=gx$ $b=gy$ para algunos relativamente primos $x,y$. Vamos

$$k=\frac{b+p}{\gcd(a,b+p)} \in \mathbb{N}$$ Then we have $$xk\gcd(b,a+p) = (gx+p)y\implies x\mid (gx+p)y \implies x\mid py$$

y por lo $x\mid 2017$ por el lema de Gauss. Lo mismo es cierto para $y \mid 2017$. Así que desde $2107$ es el primer contamos $x=y=1$ o $x=2017$, $y=1$

---

Si $x=y$, entonces hemos terminado.

Si $x=p$ $y=1$ obtenemos $${2p\over \gcd(gp,2p)} = {g+1\over \gcd(p(g+1),g)}$$ Desde $g$ $g+1$ son relativamente primos tenemos $\gcd(p(g+1),g) =\gcd(p,g)$ y desde $\gcd(gp,2p) = p\gcd(g,2)$ hemos $$\boxed{{2\over \gcd(g,2)} = {g+1\over \gcd(p,g)}}$$

Ahora$\gcd(p,g)\in\{1,p\}$, por lo que tenemos 2 casos:

1. caso: $\gcd(p,g) =p$ $p\mid g$ $g=pm$ algunos $m$. Así que tenemos $$2p = \gcd(g,2)(pm+1)$$ Vemos que $m$ debe abeja extraño por lo tanto $g$ es incluso lo $\gcd(g,2) =2$ y ahora tenemos a $p=pm+1$ lo cual es imposible.

2. caso:$\gcd(p,g) =1$, por lo que tenemos $$2 = \gcd(g,2)(g+1)$$ and so $g=1$. So $a=2017$ and $b=1$. (and of course $=1$ and $b=2017$ también funciona.)