¿Qué es? $A$ en este caso?

Question

Supongamos que $A$ es cualquier $3×3$ matriz no sinular y $(A3I)(A5I)=O$ , donde $I=I_3$ y $O=O_3$ . Si $A+A^{1}=4I$ entonces $+$ es igual a ___ .

Parece una pregunta sencilla y directa, he ampliado la condición dada,

$$(A3I)(A5I)=O \\\implies A^2 -8A +15I = O $$ y luego pre-multiplicado $A^{-1}$ a ambos lados lo que da: $$A^{-1} \cdot (A^2 -8A +15I )= A^{-1} \cdot O \\\implies A - 8I +15A^{-1} = O \\\text{or}\ \frac{1}2A +\frac{15}{2}A^{-1} = 4I$$ Comparando con lo indicado en la pregunta, $ \alpha = \frac{1}2$ y $ \beta = \frac{15}2$ lo que hace que la suma sea 8.

Pero luego pensé, ¿cómo es posible? De la ecuación $(A3I)(A5I)=O$ Parece que $A$ puede ser $3I$ o $5I$ (definitivamente no ambos al mismo tiempo), cuando sustituí $ A = 3I$ en $A+A^{1}=4I$ Si se sustituye la otra posibilidad, se obtiene otra ecuación que da el mismo resultado que la anterior cuando se resuelven las dos simultáneamente. ¿Pero esto no puede ser posible? ¿Qué es en realidad el valor de $A$ entonces, ya que estoy recibiendo tal contradicción?

Answer 1

Estás pensando como si las matrices fueran números. El producto $(A-3I)(A-5I)=0$ no te dice que uno de los factores es cero; sólo te dice que su producto es cero.

Las matrices que satisfacen su polinomio son, entre otras, $$ A_1=\begin{bmatrix} 3&0&0\\0&3&0\\ 0&0&5\end{bmatrix}, \ \ A_2=\begin{bmatrix} 5&0&0\\0&5&0\\0&0&3\end{bmatrix}. $$ Si toma $S$ para ser cualquier matriz invertible, $SA_1S^{-1}$ y $SA_2S^{-1}$ también satisfará la ecuación. Si $p(t)=(t-3)(t-5)$ es el polinomio mínimo para $A$ entonces las anteriores son todas las opciones posibles.

Cuando se concluye de $\frac12\,A+\frac{15}2\,A^{-1}=4I$ que $\alpha=\frac12$ , $\beta=\frac{15}2$ , usted está usando eso $A$ y $A^{-1}$ son linealmente independientes, lo que es en el caso anterior.

Pero $A=3I$ y $A=5I$ también satisfacen la ecuación $(A-3I)(A-5I)=0$ pero ahora $A$ y $A^{-1}$ no son linealmente independientes. En el primer caso, a partir de $$ 4I=\alpha A+\beta A^{-1}=(3\alpha+\frac{\beta}3)\,I, $$ obtenemos $9\alpha+\beta=12$ . Esto nos da infinitas opciones de $\alpha,\beta$ . Por ejemplo, si $\alpha=1$ entonces $\beta=3$ y $\alpha+\beta=4$ ; si $\alpha=2$ entonces $\beta=-6$ y $\alpha+\beta=-4$ ; si $\alpha=1/3$ entonces $\beta=9$ y $\alpha+\beta=28/3$ .

Para el caso $A=5I$ También tenemos un número infinito de opciones.

Answer 2

Dos casos:

• Si $A-3I=0$ se obtiene la relación $$3\alpha I+\frac \beta3I=4I\iff9\alpha+\beta=12,$$ así que no puedes decir nada sobre $\alpha+\beta$ . Del mismo modo, si $A=5I$ .
• Si $A-3I\ne 0\ne A-5I$ entonces $t^2-8t+15$ es el polinomio mínimo de $A$ y la relación entre $A$ y $A^{-1}$ puede reescribirse como \begin{align} &&&\alpha A^2-4A+\beta=0\implies\frac\alpha1=\frac{-4}{-8}=\frac\beta{15}=\frac{\alpha+\beta}{1+15}\\ &\text{so }&& \frac{\alpha+\beta}{16}=\frac12\iff\alpha+\beta=8. \end{align}

Answer 3

Desde

$$ A^2-8A+15I=O\Rightarrow A^2=8A-15I $$

entonces de

$$ \alpha A^2-4A+\beta I = O \Rightarrow A = \frac{\beta-15\alpha}{8\alpha-4}I = \mu I $$

Entonces, de forma equivalente, tenemos

$$ \mu^2-8\mu+15=0\\ \alpha\mu^2-4\mu+\beta = 0 $$

o

$$ \mu - 5= 0\\ \mu - 3= 0\\ \alpha\mu^2-4\mu+\beta = 0 $$

o

$$ 25\alpha-20 +\beta = 0\\ 9\alpha -12+\beta = 0 $$

y resolviendo obtenemos

$$ \alpha+\beta = 8 $$