La convergencia de $a_{n+2} = \sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}$

Question

Deje $a_1$ $a_2$ ser números positivos y supongamos que la secuencia {$a_n$} está definida recursivamente por $a_{n+2} = √a_n + √a_{n+1}$. Mostrar que esta sucesión es convergente.

Así que, he sido capaz de demostrar la convergencia de tomar tres casos diferentes, a saber,

Caso 1: Ambos $a_1$ , $a_2$ <4, luego me demostró que la secuencia será monótonamente creciente como bien delimitada y para la convergencia de

Caso 2: Ambos $a_1$, $a_2$ >4, en este caso la secuencia es monótonamente decreciente y acotada y por lo tanto convergente.

Caso 3: Una de $a_1$ $a_2$ es <4 y >4, digamos, $a_1$<4<$a_2$ en este caso, la secuencia se alternativamente, el aumento y la disminución decir $a_{2n-1}$ será cada vez mayor y $a_{2n}$ será decreciente y $a_{2n}-a_{2n-1}$ converge a Cero.

Mi pregunta es que ¿hay algún método general a través de la cual no tenemos que tomar todos estos casos y se puede demostrar la convergencia de las series de más generalidad?

Answer 1

Si podemos hacer una estimación de lo que el límite debería ser, entonces es a menudo más fácil de demostrar la convergencia con el juego de la diferencia entre el $a_n$ y el límite de candidato.

En nuestro caso, el valor límite se deben resolver las limitaciones de $x = 2\sqrt{x}$$x\geq 0$, por lo tanto $x = 0$ o $4$. Pretendemos que $4$ es el límite.

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Debemos establecer en primer lugar el acotamiento de $(a_n)$$0$$\infty$.

• $a_{n+2} \geq \sqrt{a_{n+1}}$ todos los $n\geq1$. Por lo $a_{n+2} \geq (a_2)^{1/2^n}$ y, por tanto,$\liminf_{n\to\infty} a_n \geq 1$.

• Deje $M=\max\{4,a_1,a_2\}$. Luego nos inductivamente comprobar que $a_n \leq M$ todos los $n\geq1$.

Ahora defina $\epsilon_n = \lvert a_n - 4 \rvert$$\bar{\epsilon} = \limsup_{n\to\infty} \epsilon_n$. A continuación, $\bar{\epsilon} \in [0, \infty)$ y

$$ \epsilon_{n+2} \leq \frac{\epsilon_n}{\sqrt{a_n} + 2} + \frac{\epsilon_{n+1}}{\sqrt{a_{n+1}} + 2}. $$

Ahora tomando la $\limsup_{n\to\infty}$ a ambos lados de los rendimientos de $ \bar{\epsilon} \leq \frac{\bar{\epsilon}}{3} + \frac{\bar{\epsilon}}{3}$, lo cual es suficiente para concluir que el $\bar{\epsilon} = 0$ y, por tanto,$a_n \to 4$.

Answer 2

Bueno, si $a_n\to L$$L=\sqrt L+\sqrt L$, lo $L=4$ o $L=0$.

Así que en lugar de tratar de mostrar la secuencia converge, tratamos de demostrar que converge a $4$ o $0$; que puede ser más sencillo.

Vamos a deshacernos de las raíces cuadradas mediante la definición de $b_n=\sqrt{a_n}$. Ahora$$b_{n+2}^2=b_n+b_{n+1},$$and we want to show $b_n\a 2$. If you subtract $4$ from both sides, factor the left side and apply the triangle inequality you get $$|b_{n+2}-2|\le\frac{|b_n-2|+|b_{n+1}-2|}{b_{n+2}+2}.$$It seems likely to me you can use this to show $b_n\-2$ or $0$ (if it happens that $b_n\ge c>0$ for all $n$ then it follows that $b_n\2$). Tengo que ir a clase ahora, lo siento...

Edit: lo estúpido de mí - la otra respuesta señala que es más o menos obvio que $b_n\ge c>0$. En este caso no está claro por qué nos importa, es muestra de que $$|b_{n+2}-2|\le\frac2{2+c}\max(|b_n-2|,|b_{n+1}-2|);$$hence $b_n\-2$. since $2/(2+c)<1$.