Para la matriz de $A$ si $A^4 = 0$, ¿esto también significa que $A^2 = 0$?

Question

Para una matriz arbitraria $A$ si $A^4 = 0$, ¿esto también significa que $A^2 = 0$?

Mi pensamiento es que no, ya que puede reducir la $A^4$ a $(A^2)^2$ pero no estoy seguro de si esto ayuda o no.

Answer 1

$$\pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}$$

Answer 2

Otro contraejemplo, cuando los elementos de la matriz son tomadas de $\mathbb Z/4\mathbb Z$, que es un anillo conmutativo con un divisor de cero: $$ A=\pmatrix{1&-1\\ 1&1},\ A^2=\pmatrix{0&-2\\ 2&0},\ A^4=-4I=0. $$ Pero seguramente, uno puede construir incluso un $1\times1$ contraejemplo, como$A=2$$\mathbb Z/2^4\mathbb Z$.