Función que se asigna a la "pureza" de un número racional?

Question

Por la pureza me refiero a un número que muestra cuánto el numerador y el denominador son pequeños.

E. g. $\frac{1}{1}$ es más puro, $\frac{1}{2}$ es menos puro (pero de la misma como $\frac{2}{1}$), $\frac{2}{3}$ es menos puro que el de los ejemplos anteriores, $\frac{53}{41}$ es peor, .... $\pi$ no es pura en todo (así como el correo...).

Answer 1

Usted puede tomar, $$\frac{a}{b}\mapsto \frac{a+b}{\gcd(a,b)},$$ Tenga en cuenta que esta es independiente de la elección de representante desde $\gcd(na,nb)=n\gcd(a,b)$ enteros no negativos $n$.

Por sus ejemplos, $$\frac{1}{1}\mapsto 2,\quad \frac{1}{2}\mapsto 3,\quad\frac{2}{3}\mapsto 5,\quad\frac{53}{41}\mapsto 94.$$

Otra posibilidad es $$\frac{a}{b}\mapsto \frac{ab}{(\gcd(a,b))^2},$$ que los rendimientos de $$\frac{1}{1}\mapsto 1,\quad\frac{1}{2}\mapsto 2,\quad\frac{2}{3}\mapsto 6,\quad\frac{53}{41}\mapsto 2173.$$

Estos dos "pureza" de las funciones tienen la propiedad de que $a/b$ es tan puro como $b/a$, como sería de esperar.

La siguiente tabla muestra cómo la primera elección de las particiones de los racionales positivos en la "pureza de clases". Cada fila corresponde a los racionales de la misma pureza.

$$ \begin{align} & \frac{1}{1} \\ & \frac{1}{2}\quad\frac{2}{1} \\ & \frac{1}{3}\quad\frac{3}{1} \\ & \frac{1}{4}\quad\frac{2}{3}\quad\frac{3}{2}\quad\frac{4}{1} \\ & \frac{1}{5}\quad\frac{5}{1} \\ & \frac{1}{6}\quad\frac{2}{5}\quad\frac{3}{4}\quad\frac{4}{3}\quad\frac{2}{5}\quad\frac{6}{1} \\ & \frac{1}{7}\quad\frac{3}{5}\quad\frac{5}{3}\quad\frac{7}{1} \\ & \frac{1}{8}\quad\frac{2}{7}\quad\frac{4}{5}\quad\frac{5}{4}\quad\frac{7}{2}\quad\frac{8}{1} \\ & \frac{1}{9}\quad\frac{3}{7}\quad\frac{7}{3}\quad\frac{9}{1} \\ & \frac{1}{10}\quad\frac{2}{9}\quad\frac{3}{8}\quad\frac{4}{7}\quad\frac{5}{6}\quad\frac{6}{5}\quad\frac{7}{4}\quad\frac{8}{3}\quad\frac{9}{2}\quad\frac{10}{1} \end{align} $$

Answer 2

Muchas veces he utilizado la suma de los términos en la Continuación de la Fracción. Este es

1. finito de números racionales
2. el mismo para $x$ $\frac1x$
3. para $0\lt x\lt 1$, la misma que para $x$ $1-x$

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$$ 1=(1)\1 $$ $$ \frac12=(0,2)\-2\quad\text{y}\quad2=(2)\-2 $$ $$ \frac23=(0,1,2)\o 3 $$ $$ \frac{53}{41}=(1,3,2,2,2)\10 $$ etc.

Answer 3

El orden de la secuencia de Farey donde la (parte fraccionaria) del número racional se produce la primera es una medida que debe ser de interés para usted. Como podrán ver en el enlace, el Farey secuencias tienen muchas fascinantes propiedades.

Answer 4

Natural de la pureza de la medida es el nivel de la Stern-Brocot árbol en el que la fracción se produce. Ya que cada ejecución de consecutivos a la izquierda o a la derecha pasos en el árbol corresponde a la continuación de la fracción término igual a la longitud de la carrera, la pureza puede ser definida como la suma de la continuación de la fracción términos.

Answer 5

Cómo acerca de $f(\frac{p}{q})=pq$ para los números racionales e $f(x)=0$ cuando es irracional?