Lo que físicamente determina el punto-establecer la topología de un espacio-tiempo colector?

Question

Como cualquier colector, el pseudo-Riemann colector de tiempo en especial o general de la relatividad de einstein es un espacio topológico, por lo que existe una noción de abrir los conjuntos (o, equivalentemente, barrios) que nos permite hablar de la continuidad, conectividad, etc. Nos implícitamente el uso de esta estructura siempre que marco el principio de equivalencia como decir que el espacio-tiempo "en el país se ve como espacio de Minkowski" - el "local" significa realmente "en muy pequeños barrios dentro del colector". Este punto-set-estructura topológica es en un sentido aún más profundo que cualquier cosa relacionada a la métrica, ya que cualquier colector tiene una estructura de este tipo, si es o no es pseudo-Riemann (o incluso diferenciable).

Pero lo que físicamente se define en esos juegos? Para un colector de Riemann (o más en general, cualquier espacio métrico), en la práctica, siempre utilizamos la topología inducida por la métrica. Pero esto no funciona para un pseudo-Riemann colector, debido a que la métrica indefinida firma impide ser un espacio métrico (en el sentido matemático). Por ejemplo, si yo emiten un fotón, que "más tarde" se absorbe en la Galaxia de Andrómeda, entonces es evidente que hay un sentido físico en el que los extremos de la nula fotones mundo en línea "no son infinitesimalmente cerca", incluso a pesar de que el espacio-tiempo intervalo de separación entre ellos es cero (por ejemplo, podríamos imaginar un campo físico cuyo valor varía significativamente a lo largo de la nula trayectoria). Hay un físico, coordinar y Lorentz invariante en el camino para definir el open series del espacio-tiempo?

(Tenga en cuenta que estoy no hablar sobre el mundial/topología algebraica del espacio-tiempo, que es un tema completamente distinto.)

Answer 1

No hay necesidad de definir la topología del colector de la métrica. Mientras que una característica interesante, la topología de la múltiple se define principalmente por su atlas, que, desde un punto de vista físico, corresponden a las coordenadas. Un espacio-tiempo con un conjunto de coordenadas $\{ x^i \}$ tendrá una topología definida por la asignación de abrir conjuntos de $\mathbb{R}^n$ al colector a través de la tabla de $\phi$.

Si usted desea, sin embargo, hay algunas cosas en la relatividad general, que hacer definir el espacio-tiempo de la topología.

Una base común de que el espacio-tiempo de la topología es la Alexandrov topología. Si el espacio-tiempo está fuertemente causal, la Alexandrov topología es equivalente a la multiplicidad de topología. Su base está definida por el conjunto de causales de diamantes :

$$\{ C | \forall p, q \in M, C = I^+(p) \cap I^-(q) \}$$

Es fácil encontrar contraejemplos (el Alexandrov topología es sólo $\varnothing$ $M$ para el Gödel espacio-tiempo), pero si es altamente causal, que le va a devolver el colector de topología.

Answer 2

Hay un montón de diferentes maneras de definir un colector, algunos de los cuales no son del todo equivalentes, pero todos de los cuales son equivalentes a los efectos de la física. E. g., usted puede definir un colector en términos de una triangulación.

Usted podría empezar con el colector, dicen que definen mediante una triangulación. A continuación, se ha definido la topología, y sólo después de que usted tenga que preocuparse de poner una métrica.

Si se utiliza la definición de un colector en términos de un gráfico con transición suave de los mapas, a continuación, obtener una topología libre de los gráficos. Creo que esto es esencialmente lo que enumaris está diciendo.

Pero también debemos ser capaces de hablar de estas cosas en una coordenada independiente de la forma. Una métrica sólo puede existir en un colector, independientemente de si el colector nunca fue definido en términos de las coordenadas de los gráficos. Entonces creo que usted todavía consigue una topología inducida por la métrica. Esto es debido a que la métrica define geodesics, y también define afín parámetros a lo largo de los geodesics. Así en el ejemplo de envío de un fotón a la galaxia de Andrómeda, el fotón viaja a lo largo de una geodésica, podemos definir un parámetro afín, y se puede decir que la emisión y la recepción de los fotones no se encuentran en una arbitrariamente pequeño barrio de el uno al otro, porque están en un finito afín a distancia.

Answer 3

Yo no sé acerca de "físicamente" lo que define a abrir establece desde abrir juegos son una (afaik) puramente matemático de la construcción, pero lo que define al abrir los conjuntos en el espacio-tiempo del colector es simplemente el abierto pone en $\mathbb{R}^4$. Abierto pone en $\mathbb{R}^4$ obtiene asignada para abrir establece en el colector, por definición. La topología de los colectores se induce naturalmente de esta manera.

Answer 4

La métrica indefinida de un pseudo-Riemann colector no le impide ser un espacio métrico, y por lo tanto utilizar esta ruta para definir un espacio topológico.

Sin embargo, todavía podemos relajar los axiomas de un espacio métrico y aún así ser capaz de definir un espacio topológico. En este caso, tenemos la definición de un pseudo-métrica y, a continuación, la construcción de la topología de la atraviesa como con el caso habitual.

Matemáticamente, una más importante aporía (falta una, pero importante, de la propiedad) es que los colectores no tienen la exponencial de la propiedad:

Si $M$ $N$ son los colectores. A continuación, $M+N$ $MN$ son colectores (el primero es distinto de la unión y el último, el producto Cartesiano). Sin embargo, mientras que la exponencial $M^N$ existe tanto en el punto establecido y topológicas nivel, no como colector. Hay muchos intentos de conseguir alrededor de esto, pero un método que parece ser la búsqueda de aumento de favor y que fue presentado por primera vez por Souriou y posteriormente nombrado diffeology utiliza técnicas inspiradas en gavilla teoría.