¿Qué es $\sqrt[4]{-1}$

Question

Así, todos sabemos que $\sqrt{-1}=i$,$\sqrt{-2}=2i$, y así sucesivamente. Y que, por ejemplo, $\sqrt[3]{-27}=-3$. Pero me preguntaba; ¿qué sería de $\sqrt[4]{-1}$? Desde todos los $n^{th}$ raíces de -1 que son impares resultado en -1 (Por $-1^{1,3,5,7,9,\dots}=-1$), me preguntaba lo que la variación de $i$ hasta las raíces de $-1$ dar? (Como $\sqrt{-1},\sqrt[4]{-1},\sqrt[6]{-1},\dots$)

Answer 1

¿Por qué habría de $\sqrt{-1}=i$ e no $\sqrt{-1}=-i$? No hay ningún motivo real para elegir.

Lo que debemos hacer es enumerar las raíces; hay dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro cuarto raíces, etc.

De $-1=\cos\pi+i\sin\pi$, podemos deducir a través De la fórmula de Moivre (o el uso de $-1=e^{i\pi}$), que los cuatro cuarto raíces de $-1$ $$ \cos\frac{(2k+1)\pi}4+i\sin\frac{(2k+1)\pi}4,\ \ k=0,1,2,3. $$ Explícitamente, se han $$ \cos\frac\pi4+i\sin\frac\pi4=\frac1{\sqrt2}+i\,\frac1{\sqrt2}, $$ $$ \cos\frac{3\pi}4+i\sin\frac{3\pi}4=-\frac1{\sqrt2}+i\,\frac1{\sqrt2}, $$ $$ \cos\frac{5\pi}4+i\sin\frac{5\pi}4=-\frac1{\sqrt2}-i\,\frac1{\sqrt2}, $$ $$ \cos\frac{7\pi}4+i\sin\frac{7\pi}4=\frac1{\sqrt2}-i\,\frac1{\sqrt2}. $$ Tenga en cuenta que del mismo modo que no hay una sola raíz cúbica de a $-1$, pero tres de ellos: $$ \cos\frac{(2k+1)\pi}3+i\sin\frac{(2k+1)\pi}3,\ \ k=0,1,2. $$

Answer 2

Método 1 Sugerencia: Considere la posibilidad de $$z^4=i$$ donde $$z=a+bi$$ con $a,b\in\mathbb{R}$.

Ampliar y comparar los coeficientes. (Tedioso)

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Método 2:

Considere la posibilidad de $$i=i \cdot1^k= \exp\left({\frac\pi2i}\right)\cdot\left(\exp(2\pi i )\right)^k=\exp\left({\frac\pi2i+2k\pi i}\right)$$ para $k\in\mathbb{Z}$

Vamos $$z=\exp({\theta i})$$ tal que $$z^4=i$$ A continuación, utilice la relación $$\exp(\theta i)=\cos\theta+i\sin\theta$$

Así \begin{align} \exp(4\theta i)&= \exp\left({\frac\pi2i+2k\pi i}\right)\\ 4\theta i&= \frac\pi2i+2k\pi i\\ \theta&=\frac\pi8+\frac\pi2k\\ \end{align}

Por lo tanto, la cuarta raíces de $i$ $$z=\cos\theta+i\sin\theta$$con $$\theta= -\frac{7\pi} 8,-\frac{3\pi}8,\frac\pi8,\frac{5\pi}8$$ para $\theta\in(-\pi,\pi]$

Answer 3

Vamos a utilizar la Identidad de Euler, $$e^{i\pi} + 1 = 0,\tag1$$ or in particular, $$\begin{align} e^{i\theta} &= \cos\theta + i\sin\theta \\ &= \text{cis}\,\theta.\end{align}\tag2$$

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De $(1)$, obtenemos que $e^{i\pi} = -1$, lo que $$\begin{align} \left(e^{(i\pi)/2}\right)^{1/2} &= e^{(i\pi)/4} \\ &= \sqrt [4] {-1}.\end{align}$$ Now, using $(2)$, by substituing $\theta = \dfrac{\pi}{4}$, we obtain the following result: $$\begin{align} \sqrt [4] {-1} &= \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} + i\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ \\ &= \boxed{ \ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(1+i\right). \ }\end{align}$$ See what pattern you can find now with the sequence, $\sqrt{-1}, \sqrt [4] {-1}, \sqrt [6] {-1},\ldots$