¿Cómo puedo calcular
$$\sum_{r=1}^{\infty} \frac{8r}{4r^4 +1}$$
El cálculo de primeros términos me dice que la suma converge a 2. También he intentado apretar el término.
Respuestas
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Parcial de la fracción de expansión nos da$$\begin{align*} & \sum\limits_{r=1}^n\frac {8r}{4r^4+1}=\sum\limits_{r=1}^n\frac 2{2r^2-2r+1}-\sum\limits_{r=1}^n\frac 2{2r^2+2r+1}\\ & =\left[2+\frac 2{5}+\frac 2{13}+\cdots+\frac 2{2n^2-2n+1}\right]-\left[\frac 2{5}+\frac 2{13}+\cdots+\frac 2{2n^2+2n+1}\right]\end{align*}$$Notice how all but the last fraction in the second sum cancels out with the fractions in the first sum. Continuing on indefinitely until the end gives us$$\sum\limits_{r=1}^n\frac {8r}{4r^4+1}=2-\frac 2{2n^2+2n+1}$$As $n\to\infty$, the fraction tends to zero, so your sum equals$$\sum\limits_{r\geq1}\frac {8r}{4r^4+1}=2$$
EDIT: Para encontrar la fracción parcial de descomposición, en primer lugar un factor en el denominador como un producto de dos cuadráticas. Esto se puede hacer sumando y restando $4r^2$ hasta el cuarto grado de factores como$$4r^4+1=(2r^2+2r+1)(2r^2-2r+1)$$Now, the decomposition is set up as$$\frac {8r}{(2r^2+2r+1)(2r^2-2r+1)}=\frac {Ar+B}{2r^2-2r+1}+\frac {Cr+D}{2r^2+2r+1}$$
InterstellarProbe
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Han considerado que la suma parcial de las fórmulas?
Wolframalpha encuentra:
$\displaystyle \sum_{r=1}^n \dfrac{8r}{4r^4+1} = 2-\dfrac{2}{2n^2+2n+1}$
Me gustaría recomendar tratando de averiguar cómo se calcula que la suma parcial. Ahora, el límite de $n\to \infty$, obviamente, hace que el segundo término se desvanecen.
vvnitram
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Sugerencia: el uso que
$$4r^4+1=(2r^2)^2+1=((2r^2)^2+4r^2+1)-4r^2=(2r^2+1)^2-(2r)^2=(2r^2+2r+1)(2r^2-2r+1)$$
Ahora, el uso de fracciones simples,
$\dfrac{8r}{4r^4+1}=\dfrac{8r}{(2r^2+2r+1)(2r^2-2r+1)}=\dfrac{2}{2r^2-2r+1}-\dfrac{2}{2r^2+2r+1}=2\left(\dfrac{1}{2r^2-2r+1}-\dfrac{1}{2r^2+2r+1}\right)$.
La idea es calcular el $\sum\limits_{r\in\Bbb N}\frac{1}{2r^2\pm 2r+1}$ usando el hecho de que $$\frac{1}{2r^2\pm 2r+1}=\int^1_0 x^{2r^2\pm 2r}dx$$ e intercambiando la suma con la integral.
Un ejemplo está aquí: Encontrar la infinita suma de una función racional mediante integrales
