Error en la prueba sobre los espacios vectoriales

Question

Hola este es mi primer post aquí y tengo una pregunta sobre un error en una prueba. Mi profesor de álgebra lineal estaba cubriendo la independencia lineal, la base y la dimensión de los espacios vectoriales. Llegamos a una prueba del libro de texto y dijo que la prueba está mal. Me dijo que tratara de averiguar qué es lo que está mal. He tratado de averiguar qué es lo que está mal y después de pensar en ello, hablar con mis compañeros y con mi profesor, lo he reducido a una sola frase dentro de la prueba. Creo que se trata de una mala elección de palabras. Él dijo que es muy sutil. Espero que alguno de vosotros pueda aportar alguna idea.

THM 6.11: Que $W$ sea un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita $V$ . Entonces:
(a) $W$ es de dimensión finita y $\dim W \le \dim V$ .
(b) $\dim W = \dim V$ si y sólo si $W = V$ .

Tiene un problema con la prueba de la parte (a) que es la siguiente.

Prueba (a) Sea $\dim V = n$ . Si $W = \{\mathbf{0}\}$ entonces $\dim(W) = 0 \le n = \dim V$ . Si $W$ es distinto de cero, entonces cualquier base $\mathcal{B}$ para $V$ (con $n$ vectores) ciertamente abarca $W$ ya que $W$ está contenida en $V$ . Pero $\mathcal{B}$ puede reducirse a una base $\mathcal{B'}$ para $W$ (que contiene como máximo $n$ vectores), por el Teorema 6.10(f). Por lo tanto, $W$ es de dimensión finita y $\dim W \le n = \dim V$ .

El teorema 6.10(f) dice: Sea $V$ sea un espacio vectorial con $\dim V = n$ . Entonces: (f) Cualquier conjunto de extensión para $V$ puede reducirse a una base de $V$ .

Mi profesor dijo que yo y mis compañeros teníamos razón en que el error estaba en la frase "Pero $\mathcal{B}$ puede reducirse a una base $\mathcal{B'}$ para $W$ (que contiene como máximo $n$ vectores), por el Teorema 6.10(f)". Creo que el error tiene que ver con la palabra reducido . Le pregunté y me dijo que estaba en el camino correcto pero no me dio una respuesta clara. ¿Qué hay de malo en esta prueba? Más concretamente la frase de arriba? Cualquier ayuda será muy apreciada. (Libro de texto: Álgebra lineal: A Modern Introduction by David Poole 4th edition. La prueba se encuentra en la sección 6.2: página 456)

Answer 1

El error es el siguiente. El teorema 6.10(f) dice que si se tiene un conjunto que abarca $V$ se pueden eliminar elementos ("reducir") hasta obtener una base. En la demostración de 6.11, los elementos de la base de $V$ puede no pertenecer a $W$ por lo que el argumento no es aplicable.

Por ejemplo, tal vez $V=\mathbb R^3$ y se toma la base canónica $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ . Entonces, si $W=\{(x,y,z): x=y=z\}$ ninguno de los tres elementos de la base pertenece a $W$ .

El argumento habitual es que una base de $W$ será linealmente independiente, por lo que también lo será en $V$ y se deduce que $\dim W\leq \dim V$ .

Answer 2

Su profesor tiene razón.

El problema está en la palabra "reducido"

Veamos un ejemplo.

Sea W el subespacio de $\mathbb {R}^2$ abarcados por $\{(1,1)\}.$

Dejemos que $ B=\{(1,0),(0,1)\}$ sea una base para $\mathbb {R}^2$

Entonces $B$ abarca $W$ pero no podemos reducir $B$ a una base para $W$

Answer 3

Quizá haya una diferencia en el uso de la terminología, pero yo diría que el problema está en la afirmación " $B$ abarca $W$ ".

La forma en que siempre he visto que se utiliza el término es la siguiente.

• Definimos ${\rm span}(B)=\{\hbox{linear combinations of vectors in $ B $}\}$ .
• Entonces " $B$ abarca $W$ " significa que ${\rm span}(B)$ es igual a $W$ .

En la prueba que has citado, parece que dicen que " $B$ abarca $W$ " significa que ${\rm span}(B)$ contiene $W$ .

Se trata, pues, de utilizar el sentido preciso de la terminología. Por cierto, no estoy de acuerdo con su profesor en que es un error "muy sutil", en mi opinión es un error flagrante :)