¿Puedo peine el cabello orientar sobre una pelota?

Question

Sé que no es no-desaparición de campo de vectores en $S^2$, por lo que no puedo peinar el cabello en una bola. (Estoy tratando $S^2$ como un colector sin el espacio ambiente $\mathbb R^3$, lo que equivale a exigir que el campo vectorial es tangencial a $S^2$ en cada punto, si usted prefiere la distancia Euclídea del punto de vista). Es imposible si el cabello es perdidos? Por no orientada cabello me refiero a que en lugar de mirar a un vector tangente en cada punto, estoy mirando una línea tangente. Es decir, hay un rango de uno subbundle de $TS^2$ (que es una línea de paquete en la $S^2$)? Geométrica de la intuición sugiere que no existe, pero que está lejos de la prueba.

Estoy interesada en $S^2$, pero espero que la respuesta es la misma para todos, incluso dimensiones en las esferas como en la orientada al caso.

Answer 1

Una manera alternativa de ver por qué esto no es cierto es fijar una métrica de Riemann. Si tal subbundle existía, entonces la restricción para los vectores de norma $1$ daría un dos sábana cubriendo de $S^2$. Si se desconecta, no sería un lugar vector cero de campo en $S^2$, una contradicción. Si estaban conectados, $S^2$ admitiría conectado dos sábana que cubre, una contradicción con ser simplemente conectado.

Answer 2

No. Línea de paquetes en $S^2$ están clasificados por $H^1(S^2;\mathbb{Z}/2)=0$, lo que significa que no es sólo el trivial de la línea de paquete de $L$$S^2$. Pero, a continuación, $L\oplus L$ es la trivial paquete por lo tanto no la tangente paquete de $S^2$.

Una pregunta interesante es si $TS^n$ divisiones como una suma directa de $E\oplus F$ de bajas dimensiones paquetes.

Si $E$ $F$ están obligados a ser orientable haces esto no es posible: La clase de euler es multiplicativo y $e(TS^n)$ es el doble del generador de $H^n(S^n;\mathbb{Z})$, en particular, distinto de cero. Pero si $E$ $F$ son adecuados subbundles de euler clases de $e(E)$ $e(F)$ mentira en algunos $H^i(S^n;\mathbb{Z})$ $0<i<n$ por lo tanto $e(E)\cup e(F)=0$, lo que contradice el hecho de que $e(E)\cup e(F)=e(TS^n)\not=0$.

Un paquete es orientable si su determinante paquete tiene una sección, es decir, es un trivial de la línea de paquete. Pero hemos visto que la esfera sólo admite el trivial de la línea de paquete. Esto implica que cada paquete en la $S^n$ es orientable y el argumento anterior muestra que la tangente paquete no puede dividir a todos.

Este debate, por cierto, no implica que no hay no-trivial de paquetes en $S^n$ de la fila $r<n$