En primer lugar, hay una gran diferencia entre los conceptos abstractos y sus representaciones concretas. Es cierto que podemos codificar y la razón sobre los números naturales en ZFC, en el sentido de que podemos pensar en un modelo de PA (la Aritmética de Peano) dentro de ZFC. Esto no significa que de alguna manera el concepto abstracto de $0$ está vacío!
Del mismo modo, es cierto que podemos expresar nociones como "par" y "función", y así sucesivamente en términos de conjunto de la teoría de las definiciones en ZFC, pero estas nociones han sido de alrededor durante mucho, mucho más de ZFC, y además hay infinitamente muchos viable definiciones de 'concreto' estas nociones en ZFC. Ningún matemático en realidad piensa en el resumen de par $\langle x , y \rangle$ $\{\{x\},\{x,y\}\}$ o alguna otra representación concreta.
Además, incluso en nuestros notación matemática demuestra que la concepción de las funciones de una manera más fundamental de lo que es sugerido por la norma de codificación como un conjunto de entrada/salida de los pares.
Para más detalles, vea este post acerca de los objetos matemáticos abstractos que no son conjuntos, que también menciona urelements (no establece como tú y como yo).
En segundo lugar, es cierto que desde el punto de vista de ZFC, todo es un conjunto (en el sentido de que dados cualesquiera dos objetos de $x,y$ podemos preguntar si $x \in y$ o no). Pero incluso entonces, es no necesariamente el caso de que todo es "sólo un montón de anidado vacía de conjuntos"!
El axioma del infinito es el único axioma de ZFC que afirma la (absoluta) de la existencia de algún conjunto. Todos los otros axioma sólo puede aplicarse si usted ya tiene un conjunto. Ahora, de manera informal el axioma de infinitud dice que existe un conjunto inductivo, donde un conjunto $S$ es llamado inductivo iff ( $S$ incluye el conjunto vacío como miembro, y es cerrado bajo el sucesor de operación ), donde el sucesor de $x$$S(x) := x \cup \{x\}$. Tenga en cuenta que el axioma no estipula que hay un 'mínimo' tal que se establezca, ni lo son los miembros de un conjunto mínimo!
Así, se podrá utilizar el resto de los axiomas de ZFC para la construcción de $N$ a ser la intersección de todos los conjuntos inductivos. Pero no hay ninguna manera de probar que $N$ sólo incluye como miembros del conjunto vacío y conjuntos obtenidos por iterativamente la aplicación de la sucesora de la operación. Si que parece extraño para usted, que es por desgracia la manera que es.
Usted ve, ZFC no tiene los números naturales como primitivas nociones, y el axioma del infinito fue inventado precisamente para que ZFC para la construcción de un modelo de PA; podemos definir la suma y la multiplicación en $N$ y demostrar que $N$ cumple PA. Pero eso significa que $N$ es lo que nos llevan a ser números naturales cuando se trabaja en ZFC! Nada se opone a 'nuestro' conjunto teórico universo (si es que en todos existe) de tener un $N$ que tiene más miembros de los que usted puede escribir manualmente hacia abajo, es decir, $0, S(0), S(S(0)), \cdots$ donde $0 := \varnothing$.
Y lo curioso de esto es que ZFC sí sabe que lo anterior puede suceder! ZFC demuestra que si ZFC es consistente, entonces no es un modelo de ZFC que tiene extra (no estándar) de los miembros de $N$.
Finalmente, la mayoría de matemáticas es de hecho independiente de la teoría de conjuntos, y puede ser recuperado en muy débil teorías de la aritmética como ACA, como se describen a continuación. Para aplicaciones del mundo real, es incluso mejor, porque no hay ninguna evidencia de infinitary objetos en la realidad, y hay incluso un humor grand conjetura por Harvey Friedman:
Cada teorema publicado en los Anales de las Matemáticas cuya declaración implica sólo finitary objetos matemáticos (es decir, lo que los lógicos llaman una instrucción aritmética) puede ser probado en pro de la EPT. (EFA es un fragmento de la PA.)
