Cómo probar este polinomios de la desigualdad

Question

Deje $f=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n\in \mathbb{R}[X]$ un polinomio que tiene las raíces contenidas en $(-1,1)$. Probar que:

$$\left|\frac{a_1+a_3+a_5+\ldots}{a_0+a_2+a_4+\ldots}\right|<1$$ Gracias .

Answer 1

Sin pérdida de generalidad asumo $a_0 > 0$. Deje $p = a_1 + a_3 + \dotsc$$q = a_0 + a_2 +\dotsc$. Si $n$ es incluso entonces $$0 < f(-1) = q - p$$ $$0 < f(1) = q + p$$ y la combinación de estas ecuaciones obtenemos $q > 0$$\left|\tfrac{p}{q}\right|<1$. Si $n$ es impar, entonces $$0 < -f(-1) = q - p$$ $$0 < f(1) = q + p$$ y, de nuevo,$q > 0$$\left|\tfrac{p}{q}\right| < 1$.